Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
Comme en (b), on peut montrer que
lim
n→+∞
n
i=1
n
i 2 + n 2 =
1
0
1
1 + x 2 dx =
π
4
.
Clairement,
0
n
i=1
n
i 2 + n 2
3
<
n
i=1
n 3
n 6 =
1
n 2 .
On en déduit que la limite cherchée est égale à
π
4
.
(f) On a
n
i=1
2 i/n
n +
1
i
=
1
n
n
i=1
2 i/n
1 +
1
in
.
De plus, l’inégalité e x > 1 + x pour x > 0 implique
2
i/n >
2 i/n
1 +
1
in
= 2
(i−1)/n 2 1/n
1 +
1
in
> 2
(i−1)/n 1 +
ln 2
n
1 +
1
in
.
Donc, pour i 2,
2
i/n >
2 i/n
1 +
1
in
> 2
(i−1)/n .
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe ζ i ∈
i−1
n ,
i
n
, i 2,
tel que
2 i/n
1 +
1
in
= 2
ζ i .
On en déduit que la limite est égale à
1
0
2
x dx =
1
ln 2
.
(g) Si a n =
n
f
1
n
f
2
n
. . . f
n
n
, alors
ln a n =
1
n
ln f
1
n
+ ln f
2
n
+ · · · + ln f
n
n
et
lim
n→+∞
a n = exp
1
0
ln f (x) dx
.
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