Problèmes d’Analyse III, Intégration
bornée sur [a, b] et transforme les ensembles de mesure nulle en des ensembles
de mesure nulle. De plus, on introduit le concept de continuité approximative.
On notera ici qu’il existe une analogie entre deux relations : d’une part la relation entre intégrabilité au sens de Riemann et continuité, d’autre part la relation
entre intégrabilité au sens de Lebesgue et continuité approximative. Précisément,
une fonction bornée sur [a, b] est Riemann-intégrable si et seulement si elle est
presque partout continue ; de même, une fonction bornée sur [a, b] est mesurable
et donc Lebesgue-intégrable si et seulement si elle est presque partout approximativement continue. La dernière section est consacrée aux séries de Fourier. Étant
donné l’existence d’une abondante littérature sur ce sujet, par exemple le livre de
A. Zygmund, Trigonometric Series, celui de N.K. Bari, A Treatise on Trigonometric Series et celui de R.E. Edwards, Fourier Series, il a été difficile de choisir
quel matériel inclure dans un livre s’adressant principalement à des étudiants de
licence. En conséquence, nous nous sommes concentrés sur les coefficients de Fourier de fonctions de différentes classes et sur les théorèmes élémentaires portant
sur la convergence des séries de Fourier.
Toutes les notations et définitions utilisées dans ce volume sont standards. On
peut les trouver dans les ouvrages [28] et [29] qui donnent aussi aux lecteurs les
connaissances théoriques suffisantes. Cependant, pour éviter toute ambiguïté et
pour que l’ouvrage ne nécessite pas le recours à des références extérieures, nous
démarrons presque chaque section par un paragraphe d’introduction présentant les
premières définitions et les théorèmes utilisés dans cette section. Nos conventions
pour les renvois s’expliquent le mieux par des exemples : I.2.13, I.2.13 (vol. I)
et I.2.13 (vol. II) représentent respectivement le numéro du problème dans ce
volume, dans le volume I et dans le volume II. On utilise aussi les notations et la
terminologie données dans les deux premiers volumes.
Nous avons emprunté de nombreux problèmes aux sections de problèmes de
journaux tels que l’American Mathematical Monthly ou le Mathematics Today (en
russe) et de différents livres de cours et recueils d’exercices ; de tout ceci, seuls
les livres sont cités dans la bibliographie. On aimerait ajouter que de nombreux
problèmes de la section I.5 proviennent du livre de Fikhtengol’ts ([11]) et que la
section I.7 a été influencée par le livre de Rogosinski ([27]). Il allait malheureusement au-delà de nos objectifs de repérer les sources originales et nous présentons
nos sincères excuses si nous sommes passés à côté de certaines contributions.
Nous voudrions, pour finir, remercier plusieurs personnes du département de
mathématiques de l’université Maria Curie-Skłodowska auprès desquelles nous
sommes redevables. Une mention toute particulière va à Tadeusz Kuczumow et à
Witold Rzymowski pour leurs suggestions sur de nombreux problèmes et solutions
et à Stanisław Prus pour ses conseils et son soutien sur T E X. Notre gratitude va
viii
bornée sur [a, b] et transforme les ensembles de mesure nulle en des ensembles
de mesure nulle. De plus, on introduit le concept de continuité approximative.
On notera ici qu’il existe une analogie entre deux relations : d’une part la relation entre intégrabilité au sens de Riemann et continuité, d’autre part la relation
entre intégrabilité au sens de Lebesgue et continuité approximative. Précisément,
une fonction bornée sur [a, b] est Riemann-intégrable si et seulement si elle est
presque partout continue ; de même, une fonction bornée sur [a, b] est mesurable
et donc Lebesgue-intégrable si et seulement si elle est presque partout approximativement continue. La dernière section est consacrée aux séries de Fourier. Étant
donné l’existence d’une abondante littérature sur ce sujet, par exemple le livre de
A. Zygmund, Trigonometric Series, celui de N.K. Bari, A Treatise on Trigonometric Series et celui de R.E. Edwards, Fourier Series, il a été difficile de choisir
quel matériel inclure dans un livre s’adressant principalement à des étudiants de
licence. En conséquence, nous nous sommes concentrés sur les coefficients de Fourier de fonctions de différentes classes et sur les théorèmes élémentaires portant
sur la convergence des séries de Fourier.
Toutes les notations et définitions utilisées dans ce volume sont standards. On
peut les trouver dans les ouvrages [28] et [29] qui donnent aussi aux lecteurs les
connaissances théoriques suffisantes. Cependant, pour éviter toute ambiguïté et
pour que l’ouvrage ne nécessite pas le recours à des références extérieures, nous
démarrons presque chaque section par un paragraphe d’introduction présentant les
premières définitions et les théorèmes utilisés dans cette section. Nos conventions
pour les renvois s’expliquent le mieux par des exemples : I.2.13, I.2.13 (vol. I)
et I.2.13 (vol. II) représentent respectivement le numéro du problème dans ce
volume, dans le volume I et dans le volume II. On utilise aussi les notations et la
terminologie données dans les deux premiers volumes.
Nous avons emprunté de nombreux problèmes aux sections de problèmes de
journaux tels que l’American Mathematical Monthly ou le Mathematics Today (en
russe) et de différents livres de cours et recueils d’exercices ; de tout ceci, seuls
les livres sont cités dans la bibliographie. On aimerait ajouter que de nombreux
problèmes de la section I.5 proviennent du livre de Fikhtengol’ts ([11]) et que la
section I.7 a été influencée par le livre de Rogosinski ([27]). Il allait malheureusement au-delà de nos objectifs de repérer les sources originales et nous présentons
nos sincères excuses si nous sommes passés à côté de certaines contributions.
Nous voudrions, pour finir, remercier plusieurs personnes du département de
mathématiques de l’université Maria Curie-Skłodowska auprès desquelles nous
sommes redevables. Une mention toute particulière va à Tadeusz Kuczumow et à
Witold Rzymowski pour leurs suggestions sur de nombreux problèmes et solutions
et à Stanisław Prus pour ses conseils et son soutien sur T E X. Notre gratitude va
viii