PRÉFACE À L’ÉDITION ANGLAISE
Cet ouvrage fait suite aux Problèmes d’Analyse I et II. Il s’intéresse à l’intégrale de Riemann-Stieltjes et à l’intégrale de Lebesgue des fonctions réelles
d’une variable réelle. Ce volume est organisé de façon semblable aux deux premiers. Chaque chapitre est divisé en deux parties : les problèmes et leurs solutions.
Chaque section commence par un certain nombre de problèmes de difficulté modérée, certains étant en fait des théorèmes. Il ne s’agit donc pas d’un recueil typique
d’exercices mais plutôt d’un complément à des ouvrages d’analyse pour la licence.
Nous espérons que ce livre intéressera les étudiants de licence, les enseignants et
les chercheurs en analyse et ses applications. Nous espérons aussi qu’il sera utile
aux personnes travaillant seules.
Le premier chapitre est consacré aux intégrales de Riemann et de RiemannStieltjes. La section I.1 traite de l’intégrale de Riemann-Stieltjes par rapport à des
fonctions monotones ; la section I.3 étudie l’intégration par rapport à des fonctions à variation bornée. Nous rassemblons à la section I.6 des inégalités plus ou
moins connues portant sur les intégrales. On y trouvera entre autres l’inégalité
d’Opial et l’inégalité de Steffensen. Ce chapitre se termine par une section intitulée « Mesure de Jordan ». La mesure de Jordan, appelée aussi « contenu » par
certains auteurs, n’est pas une mesure dans le sens usuel car elle n’est pas dénombrablement additive. Elle est cependant très liée à l’intégrale de Riemann et nous
espérons que cette section donnera à l’étudiant une compréhension plus profonde
des idées sous-tendant les calculs.
Le chapitre II traite de la mesure et de l’intégration de Lebesgue. La section
II.3 présente de nombreux problèmes liés aux théorèmes de convergence qui permettent de permuter limite et intégrale. On y considère aussi les espaces L p sur
des intervalles bornés. On discute à la section suivante de la continuité absolue
et des relations entre intégration et dérivation. On donne une démonstration du
théorème de Banach et Zarecki affirmant qu’une fonction f est absolument continue sur un intervalle borné [a, b] si et seulement si elle est continue, à variation
Cet ouvrage fait suite aux Problèmes d’Analyse I et II. Il s’intéresse à l’intégrale de Riemann-Stieltjes et à l’intégrale de Lebesgue des fonctions réelles
d’une variable réelle. Ce volume est organisé de façon semblable aux deux premiers. Chaque chapitre est divisé en deux parties : les problèmes et leurs solutions.
Chaque section commence par un certain nombre de problèmes de difficulté modérée, certains étant en fait des théorèmes. Il ne s’agit donc pas d’un recueil typique
d’exercices mais plutôt d’un complément à des ouvrages d’analyse pour la licence.
Nous espérons que ce livre intéressera les étudiants de licence, les enseignants et
les chercheurs en analyse et ses applications. Nous espérons aussi qu’il sera utile
aux personnes travaillant seules.
Le premier chapitre est consacré aux intégrales de Riemann et de RiemannStieltjes. La section I.1 traite de l’intégrale de Riemann-Stieltjes par rapport à des
fonctions monotones ; la section I.3 étudie l’intégration par rapport à des fonctions à variation bornée. Nous rassemblons à la section I.6 des inégalités plus ou
moins connues portant sur les intégrales. On y trouvera entre autres l’inégalité
d’Opial et l’inégalité de Steffensen. Ce chapitre se termine par une section intitulée « Mesure de Jordan ». La mesure de Jordan, appelée aussi « contenu » par
certains auteurs, n’est pas une mesure dans le sens usuel car elle n’est pas dénombrablement additive. Elle est cependant très liée à l’intégrale de Riemann et nous
espérons que cette section donnera à l’étudiant une compréhension plus profonde
des idées sous-tendant les calculs.
Le chapitre II traite de la mesure et de l’intégration de Lebesgue. La section
II.3 présente de nombreux problèmes liés aux théorèmes de convergence qui permettent de permuter limite et intégrale. On y considère aussi les espaces L p sur
des intervalles bornés. On discute à la section suivante de la continuité absolue
et des relations entre intégration et dérivation. On donne une démonstration du
théorème de Banach et Zarecki affirmant qu’une fonction f est absolument continue sur un intervalle borné [a, b] si et seulement si elle est continue, à variation