Solutions
I.1.10. On montre d’abord qu’étant donné une partition P ,
U (P, f, α) = sup S(P, f, α) et L(P, f, α) = inf S(P, f, α),
les bornes supérieures et inférieures étant prises sur tous les choix admissibles
de t i , i = 1, 2, . . . , n. En effet, pour ε > 0, il existe t
i et t
i dans l’intervalle
[x i−1 , x i ] tels que f (t
i ) < m i +
ε
b−a et f (t
i ) > M i −
ε
b−a . En conséquence, si
S (P, f, α) et S (P, f, α) sont les sommes correspondantes, alors
L(P, f, α) S
(P, f, α) < ε + L(P, f, α)
et
U (P, f, α) S
(P, f, α) > U(P, f, α) − ε.
Maintenant, si lim
μ(P )→0
S(P, f, α) = A, alors, étant donné ε > 0, il existe δ > 0
tel que μ(P ) < δ implique |S(P, f, α) − A| < ε pour tous les choix admissibles
de t i . On déduit de ce qui précède que
S
(P, f, α) − ε < L(P, f, α) U (P, f, α) < S
(P, f, α) + ε
et
A − 2ε < L(P, f, α) U (P, f, α) < A + 2ε,
ce qui donne le résultat voulu.
On suppose maintenant que f est continue sur [a , b] ; elle est donc uniformément continue sur cet intervalle. Ainsi, étant donné ε > 0, il existe
δ > 0 tel que |f (x) − f (x )| <
ε
α(b)−α(a) si |x − x | < δ. En conséquence,
pour chaque partition de pas inférieur à δ, on a U (P, f, α) − L(P, f, α) < ε
(ce qui prouve clairement que f ∈ R(α)). Maintenant, puisque S(P, f, α) et
b
a f dα se trouvent entre U (P, f, α) et L(P, f, α), la propriété énoncée suit.
I.1.11. D’après le problème précédent, si lim
μ(P )→0
S(P, f, α) existe, f ∈ R(α)
sur [a , b]. Pour démontrer l’autre implication, on suppose que f ∈ R(α). Alors,
étant donné ε > 0, il existe une partition P telle que
U (P
, f, α) −
ε
2
<
b
a
f (x) dα(x) < L(P
, f, α) +
ε
2
.
(1)
Supposons que la partition P soit un ensemble de n points. On pose
M = sup {|f (x)| : x ∈ [a , b]} .
D’après la définition de la continuité uniforme de α, il existe δ > 0 tel que
|α(x) − α(x )| <
ε
4Mn pour |x − x | < δ. Si P est une partition de pas inférieur
63