Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.1.9. Soit c (a < c < b) un point de discontinuité commun à f et α. Il existe
donc ε > 0 tel que, pour tout δ > 0, il existe x et x vérifiant |x − c| < δ,
|x − c| < δ et
f (x
) − f (c)
> ε,
α(x
) − α(c)
> ε.
(1)
Supposons, contrairement à l’énoncé, que lim
μ(P )→0
S(P, f, α) existe. On en déduit alors qu’il existe δ > 0 tel que μ(P ) < δ implique
S(P, f, α) − S
(P, f, α)
< ε
2 ,
(2)
où
S(P, f, α) =
n
i=1
f (t i )Δα i et S
(P, f, α) =
n
i=1
f (t
i )Δα i
pour tous les choix admissibles de t i et t
i . Notre but est maintenant de trouver
une partition P avec des points t i et t
i pour laquelle l’inégalité (2) n’est pas
vérifiée. Pour cela, on commence avec une partition P 1 de pas inférieur à δ
telle que x k−1 < c < x k . Il existe alors x , x ∈ ]x k−1 , x k [ vérifiant (1). On
suppose d’abord que x < c < x et on construit la partition P en ajoutant
les points x et x à P 1 . On choisit ensuite t i = t
i dans chaque sous-intervalle,
excepté pour [x , x ]. Si maintenant on prend t = x et t = c dans [x , x ],
on a
S(P, f, α) − S
(P, f, α)
=
f (c) − f (x
)
(α(x
) − α(x
))
f (c) − f (x
)
(α(x
) − α(c)) > ε
2 .
On peut appliquer un raisonnement semblable dans le cas x < c < x . Si
x k−1 < x < x < c < x k , on ajoute alors à la partition P 1 les points x et c.
Comme précédemment, on choisit t i = t
i dans chaque sous-intervalle, excepté
dans l’intervalle [x , c]. Dans [x , c], on choisit t = x et t = c et on obtient
S(P, f, α) − S
(P, f, α)
=
f (c) − f (x
)
(α(c) − α(x
)) > ε
2 .
Si x k−1 < x x < c < x k , on affine la partition P 1 en ajoutant les points x
et c. En choisissant t i = t
i dans chaque sous-intervalle, excepté dans l’intervalle
[x , c] dans lequel on choisit t = x et t = c, on obtient
S(P, f, α) − S
(P, f, α)
=
f (c) − f (x
)
(α(c) − α(x
))
f (c) − f (x
)
(α(c) − α(x
)) > ε
2 .
Des argument semblables s’appliquent au cas x , x ∈ ]c , x k [. Finalement, la
démonstration se mène comme précédemment si le point commun de discontinuité est a ou b.
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