Solutions
Étant donné ε > 0, on prend N >
2(b−a)
ε . On a alors, de ce qui précède, pour
toute partition de pas δ <
ε
4k N
,
U (P, f ) − L(P, f ) < ε.
I.1.6. Étant donné ε > 0, il existe un entier n 0 ∈ N ∗ tel que
1
n <
ε
2 pour
n > n 0 . On choisit une partition P déterminée par
0 = x 0 < x 1 =
1
n 0 + 1
< x 2 < · · · < x k = 1
telle que x i − x i−1 <
ε
4n 0
pour i = 2, 3, . . . , k. On a alors
U (P, f ) − L(P, f ) = U (P, f ) <
ε
2
+ 2n 0
ε
4n 0
= ε.
I.1.7. Étant donné ε > 0, il existe un entier n 0 ∈ N ∗ tel que
1
n <
ε
2 pour
n > n 0 . On choisit une partition P déterminée par
0 = x 0 < x 1 =
1
n 0 + 1
< x 2 < · · · < x n 0 =
1
n 0
< x n 0 +1 < · · · < x n 1 =
1
n 0 − 1
< · · · < x n n 0 −1 = 1
telle que x i − x i−1 <
ε
4n 0
(i 2). On a alors
U (P, f ) − L(P, f ) =
1
n 0 + 1
+
n
0
i=2
(M i − m i )(x i − x i−1 )
+
n 0 −2
k=0
n
k+1
i=n
k +1
(M i − m i )(x i − x i−1 )
<
ε
2
+ 2n 0
ε
4n 0
= ε.
On a donc prouvé que f est Riemann-intégrable sur [0, 1].
I.1.8. Puisque, pour chaque partition P telle que x k = 0 pour un certain k,
on a U (P, f, α) = L(P, f, α) = 0, on voit que
b
a f dα = 0. Pour maintenant
prouver que lim
μ(P )→0
S(P, f ) n’existe pas, on considère des partitions où μ(P )
tend vers 0 telles que x k−1 < 0 < x k pour un certain k. Si on choisit t k = 0 et
t
k ∈ ]0 , x k ], on obtient respectivement S(P, f ) = 0 et S(P, f ) = 1.
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