Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
car 2x i x i−1 x 2
i + x 2
i−1 . On remarquera ici que
b
a
f dx =
1
2
b
2
− a
2
.
En effet, en considérant la suite de partition P n avec x i = a +
(b−a)i
n ,
i = 0, 1, . . . , n, on voit que lim
n→+∞
U (P n , f) =
1
2
b 2 − a 2
.
I.1.4. Choisissons une partition P de [−a , a] telle que
−a = x 0 < · · · < x j−1 = 0 < x j < · · · < x n = a.
Comme dans le problème précédent, on a
U (P, f ) =
n−1
k=j−1
x k+1 (x k+1 − x k )
a 2
2
et
L(P, f ) =
j−2
k=0
x k (x k+1 − x k ) −
a 2
2
.
En prenant une suite appropriée de partitions (comparez avec la solution du
problème précédent), on montre que
a
−a
f (x) dx =
a 2
2
et
a
−a
f (x) dx = −
a 2
2
.
Finalement, on remarque que si
f (x) =
x si x ∈ Q,
0 si x ∈ R \ Q,
alors f n’est Riemann-intégrable sur aucun intervalle [a , b].
I.1.5. On fixe arbitrairement [a , b]. Étant donné un entier N strictement positif, on remarque qu’il n’y a qu’un nombre fini de rationnels
p
q (p et q premiers
entre eux) tels que q N . Soit k N ce nombre. On considère une partition de
[a , b] de pas δ > 0. Il y a alors au plus 2k N sous-intervalles [x i−1 , x i ] contenant
au moins un des rationnels mentionnés ci-dessus. Sur les autres sous-intervalles
[x j−1 , x j ], on a M j − m j <
1
N . Il s’ensuit que
U (P, f ) − L(P, f ) < 2k N δ +
b − a
N
.
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car 2x i x i−1 x 2
i + x 2
i−1 . On remarquera ici que
b
a
f dx =
1
2
b
2
− a
2
.
En effet, en considérant la suite de partition P n avec x i = a +
(b−a)i
n ,
i = 0, 1, . . . , n, on voit que lim
n→+∞
U (P n , f) =
1
2
b 2 − a 2
.
I.1.4. Choisissons une partition P de [−a , a] telle que
−a = x 0 < · · · < x j−1 = 0 < x j < · · · < x n = a.
Comme dans le problème précédent, on a
U (P, f ) =
n−1
k=j−1
x k+1 (x k+1 − x k )
a 2
2
et
L(P, f ) =
j−2
k=0
x k (x k+1 − x k ) −
a 2
2
.
En prenant une suite appropriée de partitions (comparez avec la solution du
problème précédent), on montre que
a
−a
f (x) dx =
a 2
2
et
a
−a
f (x) dx = −
a 2
2
.
Finalement, on remarque que si
f (x) =
x si x ∈ Q,
0 si x ∈ R \ Q,
alors f n’est Riemann-intégrable sur aucun intervalle [a , b].
I.1.5. On fixe arbitrairement [a , b]. Étant donné un entier N strictement positif, on remarque qu’il n’y a qu’un nombre fini de rationnels
p
q (p et q premiers
entre eux) tels que q N . Soit k N ce nombre. On considère une partition de
[a , b] de pas δ > 0. Il y a alors au plus 2k N sous-intervalles [x i−1 , x i ] contenant
au moins un des rationnels mentionnés ci-dessus. Sur les autres sous-intervalles
[x j−1 , x j ], on a M j − m j <
1
N . Il s’ensuit que
U (P, f ) − L(P, f ) < 2k N δ +
b − a
N
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