Solutions
Solutions
I.1. Propriétés de l’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.1.1. Soit ε > 0. D’après le théorème 1, il suffit de trouver une partition
P telle que
U (P, f, α) − L(P, f, α) < ε
pour prouver que f ∈ R(α). Supposons d’abord que c ∈ ]a , b[. Puisque α est
continue en c, il existe δ > 0 tel que |α(x) − α(c)| <
ε
2 si |x − c| < δ. Si on
choisit une partition P dont le pas est inférieur à δ telle que x i−1 < c < x i
pour un certain i, alors
U (P, f, α) − L(P, f, α) = α(x i ) − α(x i−1 ) < ε.
On peut appliquer le même raisonnement aux cas c = a et c = b. Clairement,
b
a f dα = sup L(P, f, α) = 0.
I.1.2. Soit a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b une partition de [a , b], on note i
l’entier tel que x i−1 < c x i . On a
U (P, f, α) = sup
x∈[x i−1 ,x i ]
f (x) = M i
et
L(P, f, α) =
inf
x∈[x i−1 ,x i ]
f (x) = m i .
Puisque f est continue sur [a , b], en considérant des partitions dont le pas tend
vers 0, on voit que
inf U (P, f, α) = sup L(P, f, α) = f (c).
I.1.3. Puisque les ensembles Q et R \ Q sont denses dans R, on a L(P, f ) = 0
pour toute partition P de [a , b]. En conséquence,
b
a
f dx = 0.
D’autre part,
U (P, f ) =
n
i=1
x i (x i − x i−1 ) =
n
i=1
x
2
i −
n
i=1
x i x i−1
1
2
b
2
− a
2
59