Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
à δ, alors la partition P ∪ P contient au plus n − 2 points de plus que P et,
en conséquence,
U (P, f, α) − U (P ∪ P
, f, α) < (n − 2)
ε
4Mn
2M <
ε
2
.
Puisque (1) reste vérifiée si on remplace P par P ∪ P , il s’ensuit que
U (P, f, α) − ε <
b
a
f (x) dα(x).
De même,
b
a
f (x) dα(x) < L(P, f, α) + ε.
la propriété énoncée suit car S(P, f, α) se trouve entre L(P, f, α) et U (P, f, α).
I.1.12. Supposons que α soit continue à gauche en x ∗ . On a alors, pour une
partition P telle que a = x 0 < x 1 < · · · < x i−1 = x ∗ < x i < · · · < x n = b,
U (P, f, α) = M i (d − c) et L(P, f, α) = m i (d − c).
Puisque, dans le cas considéré, f est continue à droite en x ∗ , le résultat suit.
On peut appliquer un raisonnement semblable à l’autre cas.
I.1.13. En prenant c 0 = a et c m+1 = b, on obtient
b
a
f (x) dα(x) =
m
k=0
c k+1
c k
f (x) dα(x).
De plus, puisque f est continue, on voit, d’après le résultat de I.1.10, que
c k+1
c k
f (x) dα(x) = f (c k )
α(c
+
k ) − α(c k )
+ f (c k+1 )
α(c k+1 ) − α(c
−
k+1 )
.
I.1.14.
(a) On a
1
n + 1
+
1
n + 2
+ · · · +
1
3n
=
1
2n
1
1
2 +
1
2n
+
1
1
2 +
2
2n
+ · · · +
1
1
2 +
2n
2n
Puisque f (x) =
1
x+
1
2
est continue sur [0 , 1], on obtient, à l’aide du résultat de I.1.10,
lim
n→+∞
1
n + 1
+
1
n + 2
+ · · · +
1
3n
=
1
0
2
1 + 2x
= ln 3.
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