Énoncés
I.7.27. Déterminer l’aire de la région se trouvant à l’extérieur du cercle r = 2
et à l’intérieur du limaçon r = 1 + 2 cos θ.
I.7.28. Soit f une fonction positive et continue sur [a , b]. Une région plane
A f =
(x, y) ∈ R 2 : a x b, 0 y f (x)
tourne autour de l’axe des abscisses
pour former un solide de révolution V de volume |V|. Montrer que
|V| = π
b
a
f
2 (x) dx.
I.7.29. Soit f une fonction positive et continue sur [a , b], 0 < a. Prouver que le
volume du solide V engendré par la rotation autour de l’axe des ordonnées de la
région plane A f =
(x, y) ∈ R 2 : a x b, 0 y f (x)
|V| = 2π
b
a
xf (x) dx.
I.7.30. Déterminer le volume du tore obtenu en faisant tourner le disque
{(x, y) ∈ R 2 : (x − a) 2 + y 2 r 2 } (0 < a < r) autour de l’axe des ordonnées.
I.7.31. Déterminer le volume du tore obtenu en faisant tourner autour de l’axe
des abscisses la région non bornée située sous le graphe de f (x) = e −x √
sin x
définie sur l’ensemble
+∞
k=0
[2kπ, (2k + 1)π].
I.7.32. Montrer que la longueur L de l’ellipse
x
a
2
+
y
b
2
= 1
vérifie
π(a + b) < L < π
2 (a 2 + b 2 ).
I.7.33. Prouver que la longueur L de l’ellipse
x
a
2
+
y
b
2
= 1, a > b > 0,
est donnée par
L = 2πa
1 −
+∞
n=1
(2n − 1)!!
(2n)!!
2 e 2n
2n − 1
,
où e =
√
a 2 −b 2
a
est l’excentricité de l’ellipse.
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