Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.7.19. Prouver qu’un ensemble borné A est Jordan-mesurable si et seulement
s’il existe deux suites {B n } et {C n } d’ensembles Jordan-mesurables tels que
B n ⊂ A ⊂ C n et
lim
n→+∞
|B n | = lim
n→+∞
|C n | = |A| .
I.7.20. Montrer que l’ensemble
A =
(x, y) ∈ R
2 : 0 < x 1, 0 y
sin
1
x
est Jordan-mesurable.
I.7.21. On note A =
(x, y) ∈ R 2 : (x − 1) 2 + y 2 1
et
K n =
(x, y) ∈ R
2 :
x −
1
n
2
+ y
2
1
4 2n
.
Montrer que l’ensemble A \
+∞
n=1
K n est Jordan-mesurable.
I.7.22. Démontrer la formule suivante sur la mesure de Jordan d’ensembles définis par des inégalités sur les coordonnées polaires (r, θ). Si f est une fonction
positive et continue sur [α, β], β − α < 2π, alors l’ensemble
A = {(r, θ) : α θ β, 0 r f (θ)}
est Jordan-mesurable et son aire est égale à
|A| =
1
2
β
α
f
2 (θ) dθ.
I.7.23. Déterminer l’aire d’une des boucles du lemniscate r 2 = a 2 cos(2θ) où
a > 0 est fixé.
I.7.24. La courbe r = a(1 + cos(3θ)), a > 0, est formée de trois feuilles superposables, tangentes les unes aux autres à l’origine. Déterminer l’aire d’une de ces
feuilles.
I.7.25. Déterminer l’aire du limaçon r = a + b cos θ, où les réels strictement
positifs a et b sont donnés, en distinguant les cas a > b, a = b et a < b.
I.7.26. Déterminer l’aire de la boucle de la courbe x 5 + y 5 = 5ax 2 y 2 , où a > 0
est donné.
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