Énoncés
I.7.12. Soit A un ensemble de Cantor généralisé défini comme suit. Étant donné
α ∈ ]0 , 1[, on enlève de [0 , 1] un intervalle ouvert
1
2 −
α
4 ,
1
2 +
α
4
et on note E 1
l’union des deux intervalles fermés restants. On enlève alors les intervalles ouverts
de longueur
α
2 3 situés au milieu des deux intervalles formant E 1 et on note E 2
l’union des quatre intervalles fermés restants. On répète le procédé sur chacun
des quatre intervalles en retirant les intervalles ouverts de longueur
α
2 5 situés au
milieu. En continuant le procédé, on obtient une suite {E n } d’ensembles, E n étant
l’union de 2 n intervalles fermés, et on pose A =
+∞
n=1
E n . Prouver que A n’est pas
Jordan-mesurable.
I.7.13. A =
1 +
1
n+1 , 2 +
1
n+1 , . . . : n ∈ N
est-il un sous-ensemble Jordanmesurable de R ?
I.7.14. Soit {r k } une suite de tous les rationnels de [0 , 1] et soit I k l’intervalle
ouvert centré en r k de longueur
1
2 k+1 . Démontrer que l’ensemble A =
+∞
k=1
I k n’est
pas Jordan-mesurable.
I.7.15. Donner des exemples d’ensembles ouverts non mesurables et d’ensembles
fermés non mesurables.
I.7.16. Soit A ⊂ [a, b]. Si χ A est la fonction caractéristique de A, alors
|A| ∗ =
b
a
χ A (x) dx et |A|
∗ =
b
a
χ A (x) dx.
I.7.17. Soit f une fonction positive et bornée sur un intervalle [a, b], on pose
A f =
(x, y) ∈ R 2 : a x b, 0 y f (x)
. Prouver que
|A f | ∗ =
b
a
f (x) dx et |A f |
∗ =
b
a
f (x) dx.
I.7.18. Soit f une fonction bornée sur [a, b]. Pour ε > 0, on définit
J ε = {x ∈ [a , b], o f (x) ε},
o f (x) représentant l’oscillation de f en x (voir, par exemple, I.7.12 (vol. II)).
Prouver que f est Riemann-intégrable sur [a , b] si et seulement si |J ε | = 0 pour
tout ε > 0.
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I.7.12. Soit A un ensemble de Cantor généralisé défini comme suit. Étant donné
α ∈ ]0 , 1[, on enlève de [0 , 1] un intervalle ouvert
1
2 −
α
4 ,
1
2 +
α
4
et on note E 1
l’union des deux intervalles fermés restants. On enlève alors les intervalles ouverts
de longueur
α
2 3 situés au milieu des deux intervalles formant E 1 et on note E 2
l’union des quatre intervalles fermés restants. On répète le procédé sur chacun
des quatre intervalles en retirant les intervalles ouverts de longueur
α
2 5 situés au
milieu. En continuant le procédé, on obtient une suite {E n } d’ensembles, E n étant
l’union de 2 n intervalles fermés, et on pose A =
+∞
n=1
E n . Prouver que A n’est pas
Jordan-mesurable.
I.7.13. A =
1 +
1
n+1 , 2 +
1
n+1 , . . . : n ∈ N
est-il un sous-ensemble Jordanmesurable de R ?
I.7.14. Soit {r k } une suite de tous les rationnels de [0 , 1] et soit I k l’intervalle
ouvert centré en r k de longueur
1
2 k+1 . Démontrer que l’ensemble A =
+∞
k=1
I k n’est
pas Jordan-mesurable.
I.7.15. Donner des exemples d’ensembles ouverts non mesurables et d’ensembles
fermés non mesurables.
I.7.16. Soit A ⊂ [a, b]. Si χ A est la fonction caractéristique de A, alors
|A| ∗ =
b
a
χ A (x) dx et |A|
∗ =
b
a
χ A (x) dx.
I.7.17. Soit f une fonction positive et bornée sur un intervalle [a, b], on pose
A f =
(x, y) ∈ R 2 : a x b, 0 y f (x)
. Prouver que
|A f | ∗ =
b
a
f (x) dx et |A f |
∗ =
b
a
f (x) dx.
I.7.18. Soit f une fonction bornée sur [a, b]. Pour ε > 0, on définit
J ε = {x ∈ [a , b], o f (x) ε},
o f (x) représentant l’oscillation de f en x (voir, par exemple, I.7.12 (vol. II)).
Prouver que f est Riemann-intégrable sur [a , b] si et seulement si |J ε | = 0 pour
tout ε > 0.
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