Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.7.3. Prouver que si A 1 et A 2 sont Jordan-mesurables, il en est de même de
A 1 ∪ A 2 et A 1 ∩ A 2 et on a
|A 1 ∪ A 2 | + |A 1 ∩ A 2 | = |A 1 | + |A 2 | .
I.7.4. Prouver que si A 1 et A 2 sont Jordan-mesurables, A 1 ⊂ A 2 et |A 1 | < +∞,
alors A 2 \ A 1 est Jordan-mesurable et |A 2 \ A 1 | = |A 2 | − |A 1 |.
I.7.5. Prouver que l’ensemble
A =
(x, y) ∈ R
2 : x ∈ [0 , 1], y ∈ [0 , 1] \ Q
n’est pas Jordan-mesurable.
I.7.6. Prouver que l’ensemble
B =
(x, y) ∈ R
2 : x ∈ [0 , 1], y ∈ [0 , 1] \
1
n : n ∈ N
∗
est Jordan-mesurable.
I.7.7. Prouver que si |B|
∗ = 0, on a alors, pour tout A borné,
|A ∪ B| ∗ = |A| ∗ .
Donner un exemple pour montrer que |B| ∗ = 0 n’est pas une condition suffisante
pour que cette égalité soit vérifiée.
I.7.8. Prouver que si A est Jordan-mesurable, son intérieur et son adhérence
sont Jordan-mesurables et
|A| =
◦
|A| =
A
.
I.7.9. Prouver que A est Jordan-mesurable si et seulement si la mesure de Jordan de sa frontière ∂A est nulle.
I.7.10. Prouver que l’hypothèse, selon laquelle A 1 , . . . , A n sont bornés, peut
être ignorée dans la propriété énoncée en I.7.2.
I.7.11. On note C ⊂ [0 , 1] l’ensemble de Cantor (pour la définition de l’ensemble
de Cantor voir, par exemple, la solution de I.3.1 (vol. II)). Prouver que |C| = 0.
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I.7.3. Prouver que si A 1 et A 2 sont Jordan-mesurables, il en est de même de
A 1 ∪ A 2 et A 1 ∩ A 2 et on a
|A 1 ∪ A 2 | + |A 1 ∩ A 2 | = |A 1 | + |A 2 | .
I.7.4. Prouver que si A 1 et A 2 sont Jordan-mesurables, A 1 ⊂ A 2 et |A 1 | < +∞,
alors A 2 \ A 1 est Jordan-mesurable et |A 2 \ A 1 | = |A 2 | − |A 1 |.
I.7.5. Prouver que l’ensemble
A =
(x, y) ∈ R
2 : x ∈ [0 , 1], y ∈ [0 , 1] \ Q
n’est pas Jordan-mesurable.
I.7.6. Prouver que l’ensemble
B =
(x, y) ∈ R
2 : x ∈ [0 , 1], y ∈ [0 , 1] \
1
n : n ∈ N
∗
est Jordan-mesurable.
I.7.7. Prouver que si |B|
∗ = 0, on a alors, pour tout A borné,
|A ∪ B| ∗ = |A| ∗ .
Donner un exemple pour montrer que |B| ∗ = 0 n’est pas une condition suffisante
pour que cette égalité soit vérifiée.
I.7.8. Prouver que si A est Jordan-mesurable, son intérieur et son adhérence
sont Jordan-mesurables et
|A| =
◦
|A| =
A
.
I.7.9. Prouver que A est Jordan-mesurable si et seulement si la mesure de Jordan de sa frontière ∂A est nulle.
I.7.10. Prouver que l’hypothèse, selon laquelle A 1 , . . . , A n sont bornés, peut
être ignorée dans la propriété énoncée en I.7.2.
I.7.11. On note C ⊂ [0 , 1] l’ensemble de Cantor (pour la définition de l’ensemble
de Cantor voir, par exemple, la solution de I.3.1 (vol. II)). Prouver que |C| = 0.
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