Énoncés
I.6.48. Soit f ∈ C 2n
[a,b] une fonction telle que f (k) (a) = f (k) (b) = 0 pour k =
0, 1, . . . , n − 1. Prouver que si M = max
x∈[a,b]
f (2n) (x)
, alors
b
a
f (x) dx
(n!)
2 (b − a)
2n+1
(2n)!(2n + 1)!
M.
I.7. Mesure de Jordan
Pour a i b i (i = 1, 2, . . . , p), le volume du pavé R = [a 1 , b 1 ] × . . . × [a p , b p ]
est le réel |R| = (b 1 − a 1 )(b 2 − a 2 ) . . . (b p − a p ). Dans le cas p = 1 ou p = 2,
|R| est appelé respectivement la longueur ou la surface de R. On dit que deux
pavés sont séparés s’ils ont au plus en commun des points de leur frontière. Une
union d’un nombre fini de pavés est appelée un ensemble élémentaire. Tout ensemble élémentaire peut s’exprimer (d’une infinité de façon) comme une union
de pavés deux à deux séparés R 1 , . . . , R n . Le volume de l’ensemble élémentaire
E est le réel |E| = |R 1 | + · · · + |R n |. Le volume |E| ne dépend pas du choix des
R i . Pour un ensemble non vide A ⊂ R p , on pose |A| ∗ = sup |E|, où la borne
supérieure est prise sur tous les ensembles élémentaires E inclus dans A. Le
réel |A| ∗ est appelée le volume intérieur (ou mesure intérieure de Jordan) de
A. Si A n’est pas borné, sa mesure intérieure de Jordan peut être infinie. Si
A est borné, son volume extérieur (ou mesure extérieure de Jordan) est le réel
|A|
∗ = inf |E| où la borne inférieure est prise sur tous les ensembles élémentaires E contenant A. Si A n’est pas borné, alors |A|
∗ = lim
k→+∞
|A ∩ R k |
∗ , où
R k = [−k, k] × . . . × [−k, k] ⊂ R p . Si |A| ∗ = |A|
∗ = |A|, on dit que A a pour
volume |A| (ou qu’il est Jordan-mesurable et que sa mesure de Jordan est |A|).
Dans le cas où |A| = +∞, on suppose de plus que A ∩ R est Jordan-mesurable
pour tout pavé R. On suppose aussi que |∅| = 0.
I.7.1. Montrer qu’un ensemble borné A est Jordan-mesurable si et seulement
si, pour tout ε > 0, il existe deux ensembles élémentaires E 1 et E 2 tels que
E 1 ⊂ A ⊂ E 2 et |E 2 | − |E 1 | < ε.
I.7.2. Montrer que si A 1 , . . . , A n sont bornés, Jordan-mesurables et deux à deux
séparés, autrement dit,
◦
A i ∩
◦
A j = ∅ pour i = j, alors
|A 1 ∪ · · · ∪ A n | = |A 1 | + · · · + |A n | .
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I.6.48. Soit f ∈ C 2n
[a,b] une fonction telle que f (k) (a) = f (k) (b) = 0 pour k =
0, 1, . . . , n − 1. Prouver que si M = max
x∈[a,b]
f (2n) (x)
, alors
b
a
f (x) dx
(n!)
2 (b − a)
2n+1
(2n)!(2n + 1)!
M.
I.7. Mesure de Jordan
Pour a i b i (i = 1, 2, . . . , p), le volume du pavé R = [a 1 , b 1 ] × . . . × [a p , b p ]
est le réel |R| = (b 1 − a 1 )(b 2 − a 2 ) . . . (b p − a p ). Dans le cas p = 1 ou p = 2,
|R| est appelé respectivement la longueur ou la surface de R. On dit que deux
pavés sont séparés s’ils ont au plus en commun des points de leur frontière. Une
union d’un nombre fini de pavés est appelée un ensemble élémentaire. Tout ensemble élémentaire peut s’exprimer (d’une infinité de façon) comme une union
de pavés deux à deux séparés R 1 , . . . , R n . Le volume de l’ensemble élémentaire
E est le réel |E| = |R 1 | + · · · + |R n |. Le volume |E| ne dépend pas du choix des
R i . Pour un ensemble non vide A ⊂ R p , on pose |A| ∗ = sup |E|, où la borne
supérieure est prise sur tous les ensembles élémentaires E inclus dans A. Le
réel |A| ∗ est appelée le volume intérieur (ou mesure intérieure de Jordan) de
A. Si A n’est pas borné, sa mesure intérieure de Jordan peut être infinie. Si
A est borné, son volume extérieur (ou mesure extérieure de Jordan) est le réel
|A|
∗ = inf |E| où la borne inférieure est prise sur tous les ensembles élémentaires E contenant A. Si A n’est pas borné, alors |A|
∗ = lim
k→+∞
|A ∩ R k |
∗ , où
R k = [−k, k] × . . . × [−k, k] ⊂ R p . Si |A| ∗ = |A|
∗ = |A|, on dit que A a pour
volume |A| (ou qu’il est Jordan-mesurable et que sa mesure de Jordan est |A|).
Dans le cas où |A| = +∞, on suppose de plus que A ∩ R est Jordan-mesurable
pour tout pavé R. On suppose aussi que |∅| = 0.
I.7.1. Montrer qu’un ensemble borné A est Jordan-mesurable si et seulement
si, pour tout ε > 0, il existe deux ensembles élémentaires E 1 et E 2 tels que
E 1 ⊂ A ⊂ E 2 et |E 2 | − |E 1 | < ε.
I.7.2. Montrer que si A 1 , . . . , A n sont bornés, Jordan-mesurables et deux à deux
séparés, autrement dit,
◦
A i ∩
◦
A j = ∅ pour i = j, alors
|A 1 ∪ · · · ∪ A n | = |A 1 | + · · · + |A n | .
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