Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
et si f est décroissante sur [a , b], alors
b
a
f (t)g 1 (t) dt
b
a
f (t)g 2 (t) dt.
I.6.43. Utiliser l’inégalité de Steffensen (voir I.6.37) pour prouver que si f est
continûment dérivable sur [a , b] et m f (x) M (m < M) pour tout x ∈ [a , b],
alors
m +
(M − m)λ 2
(b − a) 2
f (b) − f (a)
b − a
M −
(M − m)(b − a − λ) 2
(b − a) 2
,
où
λ =
f (b) − f (a) − m(b − a)
M − m
.
I.6.44. Montrer que si f est continûment dérivable sur [a , b] et m f (x) M
(m < M) pour tout x ∈ [a , b], alors
b
a
f (x) dx −
f (a) + f (b)
2
(b − a)
(f (b) − f (a) − m(b − a))(M (b − a) − f (b) + f (a))
2(M − m)
.
I.6.45. Prouver l’inégalité d’Opial . Si f est continûment dérivable sur [0 , a] et
f (0) = 0, alors
a
0
f (x)f
(x)
dx
a
2
a
0
f
(x)
2 dx.
I.6.46. Prouver la généralisation suivante de l’inégalité d’Opial. Si f ∈ C n
[0,a] est
telle que f (0) = f (0) = · · · = f (n−1) (0) = 0, n 1, alors
a
0
f (x)f
(n−1) (x)
dx
a n
2
a
0
f
(n) (x)
2
dx.
I.6.47. Prouver la généralisation suivante de l’inégalité d’Opial. Si f est continûment dérivable sur [0 , a], f (0) = 0 et p 0, q 1, alors
a
0
|f (x)|
p
f
(x)
q dx
qa p
p + q
a
0
f
(x)
p+q dx.
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