Énoncés
I.6.40. Démontrer la variante suivante de l’inégalité de Steffensen due à
R. Apéry. Soit f une fonction positive et décroissante sur R + et g une fonction définie sur R + telle que 0 g(x) A (A > 0) et
+∞
0
g(x) dx < +∞. On a
alors
+∞
0
f (x)g(x) dx A
λ
0
f (x) dx,
où
λ =
1
A
+∞
0
g(x) dx.
I.6.41. Prouver la généralisation suivante de Bellman de l’inégalité de
Steffensen. Soit f : [a , b] −→ R une fonction positive et décroissante et soit
g : [a , b] −→ R une fonction positive et Riemann-intégrable telle que
0 g(x)
b
a
g(t) dt
p−1
1, x ∈ [a , b].
Si p 1, alors
b
a
f (x)g(x) dx
p
a+λ
a
(f (x))
p dx,
où
λ =
b
a
g(x) dx
p
.
Prouver de plus que si 0 < p 1, alors
b
a
f (x)g(x) dx
p
b
b−λ
(f (x))
p dx,
où λ est défini comme précédemment.
I.6.42. Soit g 1 et g 2 des fonctions intégrables sur [a , b] telles que
x
a
g 1 (t) dt
x
a
g 2 (t) dt
pour tout x ∈ [a , b] et
b
a
g 1 (t) dt =
b
a
g 2 (t) dt.
Prouver que si f est croissante sur [a , b], alors
b
a
f (t)g 1 (t) dt
b
a
f (t)g 2 (t) dt
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