Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.6.36. Soit f 1 , . . . , f n des fonctions positives et Riemann-intégrables sur [a , b].
(a) Si k > 1, alors
b
a
(f 1 (x) + · · · + f n (x))
k dx
b
a
f
k
1 (x) dx + · · · +
b
a
f
k
n (x) dx.
(b) Si 0 < k < 1, alors
b
a
(f 1 (x) + · · · + f n (x))
k dx
b
a
f
k
1 (x) dx + · · · +
b
a
f
k
n (x) dx.
I.6.37. Prouver l’inégalité de Steffensen. Si g est Riemann-intégrable sur [a , b]
telle que 0 g(x) 1 pour tout x ∈ [a, b] et si f est décroissante sur cet intervalle,
alors
b
b−λ
f (x) dx
b
a
f (x)g(x) dx
a+λ
a
f (x) dx,
où
λ =
b
a
g(x) dx.
I.6.38. Prouver la généralisation de Bellman de l’inégalité de Steffensen. Si g
est Riemann-intégrable sur [0 , 1] telle que 0 g(x) 1 pour tout x ∈ [0 , 1] et si
f est positive et décroissante sur cet intervalle, on a alors, pour p 1,
1
0
f (x)g(x) dx
p
λ
0
(f (x))
p dx,
où
λ =
1
0
g(x) dx
p
.
I.6.39. En utilisant I.6.38, prouver que si g est Riemann-intégrable sur [a , b]
telle que 0 g(x) 1 pour tout x ∈ [a , b] et si f est positive et décroissante sur
cet intervalle, on a alors, pour p > 1,
1
(b − a)
p−1
b
a
f (x)g(x) dx
p
a+λ
a
(f (x))
p dx,
où
λ =
1
(b − a)
p−1
b
a
g(x) dx
p
.
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