Énoncés
I.6.31. Soit f une fonction Riemann-intégrable sur [0 , 1] telle que |f (x)| 1
pour tout x ∈ [0 , 1]. Montrer que
1
0
1 − f 2 (x) dx
1 −
1
0
f (x) dx
2
.
I.6.32. Soit f une fonction positive et décroissante sur [0 , 1]. Montrer que, pour
a et b positifs,
1 −
a − b
a + b + 1
2
1
0
x
2a f (x) dx
1
0
x
2b f (x) dx
1
0
x
a+b f (x) dx
2
.
I.6.33. Soit f une fonction positive et croissante sur [0, 1]. Montrer que, pour a
et b positifs,
1 −
a − b
a + b + 1
2
1
0
x
2a f (x) dx
1
0
x
2b f (x) dx
1
0
x
a+b f (x) dx
2
.
I.6.34. Soit f une fonction continue sur [a , b] qu’on prolonge en posant f (x) = 0
pour x /
∈ [a , b]. Pour h > 0, on définit f h en posant
f h (x) =
1
2h
x+h
x−h
f (t) dt.
Prouver que
b
a
|f h (x)| dx
b
a
|f (x)| dx.
I.6.35. Prouver l’inégalité de Minkowski pour les intégrales. Soit f 1 , f 2 , . . . , f n
des fonctions positives et Riemann-intégrables sur [a , b].
(a) Si k > 1, alors
b
a
(f 1 (x) + · · · + f n (x))
k dx
1
k
b
a
f
k
1 (x) dx
1
k
+· · ·+
b
a
f
k
n (x) dx
1
k
.
(b) Si 0 < k < 1, alors
b
a
(f 1 (x) + · · · + f n (x))
k dx
1
k
b
a
f
k
1 (x) dx
1
k
+· · ·+
b
a
f
k
n (x) dx
1
k
.
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