Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.6.26. Démontrer l’inégalité de Hölder . Si les fonctions f 1 , f 2 , . . . , f n sont positives et Riemann-intégrables sur [a , b] et si les réels strictement positifs α 1 , α 2 , . . . ,
α n vérifient
n
i=1
α i = 1, alors
b
a
n
i=1
f
α i
i (x) dx
n
i=1
b
a
f i (x) dx
α i
.
I.6.27. Soit f et g deux fonctions positives et Riemann-intégrables sur [a , b].
Pour p = 0, on note q son conjugué (q est tel que
1
p +
1
q = 1). En utilisant le
résultat du problème précédent, prouver que
(a) si p > 1, alors
b
a
f (x)g(x) dx
b
a
f
p (x) dx
1/p b
a
g
q (x) dx
1/q
;
(b) si p < 0 ou si 0 < p < 1 et si f et g sont strictement positives, alors
b
a
f (x)g(x) dx
b
a
f
p (x) dx
1/p b
a
g
q (x) dx
1/q
.
I.6.28. Soit f une fonction continue sur [0 , 1] telle qu’il existe a > 0 pour lequel
0 f (x) a 2/3 pour tout x ∈ [0 , 1]. Prouver que
1
0
f (x) dx a
2/3 si
1
0
f (x)dx = a.
I.6.29. Soit f une fonction Riemann-intégrable sur [a , b] telle que
m f (x) M . Démontrer que si ϕ est continue et convexe sur [m , M], alors
ϕ
1
b − a
b
a
f (x) dx
1
b − a
b
a
ϕ (f (x)) dx.
Cette inégalité est appelée l’inégalité de Jensen.
I.6.30. Prouver la généralisation suivante de l’inégalité de Jensen énoncée au
problème précédent. Soit f et p des fonctions Riemann-intégrables sur [a , b] telles
que m f (x) M , p(x) 0 et
b
a p(x) dx > 0. Si ϕ est continue et convexe sur
[m , M], alors
ϕ
1
b
a p(x) dx
b
a
p(x)f (x) dx
1
b
a p(x) dx
b
a
p(x)ϕ (f (x)) dx.
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