Énoncés
I.6.21. Prouver la réciproque de l’inégalité de Young. On suppose que f et g sont
continûment dérivables et strictement croissantes sur R + et que f (0) = g(0) = 0,
g −1 (x) f (x) pour tout x 0. Si, pour a et b strictement positifs,
ab
a
0
f (x) dx +
b
0
g(x) dx,
alors f et g sont inverses l’une de l’autre.
I.6.22. Soit
A =
f ∈ R([0, 1]) :
1
0
f (x) dx = 3,
1
0
xf (x) dx = 2
.
Déterminer
min
f ∈A
1
0
f
2 (x) dx
et une fonction pour laquelle le minimum est atteint.
I.6.23. Soit
A =
f ∈ C
2
[0,1] : f (0) = f (1) = 0, f
(0) = a
.
Déterminer
min
f ∈A
1
0
f
(x)
2 dx
et une fonction pour laquelle le minimum est atteint.
I.6.24. Existe-t-il une fonction f continûment dérivable sur [0 , 2] telle que
f (0) = f (2) = 1, |f (x)| 1 pour x ∈ [0 , 2] et
2
0 f (x) dx
1 ?
I.6.25. Soit f ∈ C 1
[a,b] telle que f (a) = f (b) = 0. Montrer que
max
x∈[a,b]
f
(x)
4
(b − a) 2
b
a
|f (x)| dx.
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