Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.6.15. Étant donné x et y des réels strictement positifs, on note A, G et L
respectivement leur moyenne arithmétique, géométrique et logarithmique (voir,
par exemple, II.5.41 (vol. II) pour la définition de la moyenne logarithmique).
Utiliser le résultat précédent pour prouver que pour x = y, A L < G A si x et y sont
tous les deux supérieurs à e 3/2 et A L > G A si x et y sont tous les deux inférieurs
à e 3/2 .
I.6.16. Montrer que si f ∈ C [a,b] est strictement positive et strictement concave
sur [a , b], alors
b
a
f (x) dx >
1
2
(b − a) max
x∈[a,b]
f (x).
I.6.17. Soit f et g des fonctions continûment dérivables sur [0 , b] telles que f
et g soient positives sur [0 , b], f n’étant pas constante et f (0) = 0. Alors, pour
0 < a b,
f (a)g(b)
a
0
g(x)f
(x) dx +
b
0
g
(x)f (x) dx.
L’égalité est atteinte si et seulement si a = b ou si g est une fonction constante.
I.6.18. Soit f ∈ C 1
[0,c] , c > 0, une fonction strictement croissante sur [0 , c] telle
que f (0) = 0. Prouver que, pour x ∈ [0 , c],
x
0
f (t) dt +
f (x)
0
f
−1 (t) dt = xf (x),
où f −1 représente la bijection réciproque de f .
I.6.19. Utiliser le résultat du problème précédent pour prouver l’inégalité de
Young. Sous les hypothèses de I.6.18,
a
0
f (t) dt +
b
0
f
−1 (t) dt ab
pour tout a ∈ [0 , c] et tout b ∈ [0 , f(c)]. De plus, l’égalité est atteinte si et
seulement si b = f (a).
I.6.20. Montrer que pour a, b 0,
(1 + a) ln(1 + a) − (1 + a) + (e
b
− b) ab.
46