Énoncés
I.6.9. Soit f ∈ C [a,b] une fonction croissante sur [a , b]. Prouver que l’on a, pour
x ∈ ]a , b[,
1
x − a
x
a
f (t) dt
1
b − a
b
a
f (t) dt
1
b − x
b
x
f (t) dt.
I.6.10. Prouver l’inégalité de Tchebychev . Si les fonctions f et g sont toutes
deux croissantes ou toutes deux décroissantes sur [a , b], alors
1
b − a
b
a
f (x) dx
1
b − a
b
a
g(x) dx
1
b − a
b
a
f (x)g(x) dx.
Si une des fonctions est croissante et l’autre décroissante, l’inégalité est alors
inversée.
I.6.11. Prouver la généralisation suivante de l’inégalité de Tchebychev. Soit p
une fonction strictement positive et Riemann-intégrable sur [a , b]. Si les fonctions
f et g sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes sur [a , b], alors
b
a
p(x)f (x) dx
b
a
p(x)g(x) dx
b
a
p(x) dx
b
a
p(x)f (x)g(x) dx.
Si une des fonctions est croissante et l’autre décroissante, l’inégalité est alors
inversée.
I.6.12. Soit f et g des fonctions croissantes sur [0 , a]. Prouver que
a
0
f (x)g(x) dx
a
0
f (a − x)g(x) dx.
I.6.13. Soit q une fonction strictement positive et décroissante sur [a , b], a > 0.
Montrer que
b
a xq 2 (x) dx
b
a xq(x) dx
b
a q 2 (x) dx
b
a q(x) dx
.
I.6.14. Montrer que si f est une fonction convexe sur [a , b], alors (5)
f
a + b
2
(b − a)
b
a
f (x) dx
f (a) + f (b)
2
(b − a) .
(5) Inégalité de Hadamard-Hermite. (N.d.T.)
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