Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.6.4. Soit f et g des fonctions Riemann-intégrables sur [a , b] telles que
m 1 f (x) M 1 et m 2 g(x) M 2 pour tout x ∈ [a , b].
Prouver que (4)
1
b − a
b
a
f (x)g(x) dx −
1
(b − a)
2
b
a
f (x) dx
b
a
g(x) dx
1
4
(M 1 − m 1 ) (M 2 − m 2 ).
I.6.5. Soit f ∈ C 1
[a,b] telle que f (a) = f (b) = 0 et
b
a f 2 (x) dx = 1. Montrer que
b
a
xf (x)f
(x) dx = −
1
2
et
1
4
b
a
f
(x)
2 dx
b
a
x
2 f
2 (x) dx.
I.6.6. Déterminer
min
f ∈A
1
0
1 + x
2
f
2 (x) dx
où
A =
f ∈ C [0,1] :
1
0
f (x) dx = 1
et trouver une fonction pour laquelle le minimum est atteint.
I.6.7. Soit f : [a , b] −→ [m , M] une fonction telle que
b
a f (x) dx = 0. Prouver
que
b
a
f
2 (x) dx −mM (b − a).
I.6.8. Prouver que si f est une fonction continue sur [0 , 1] et dérivable sur ]0 , 1[
telle que f (0) = 0 et 0 < f (x) 1 sur ]0 , 1[, alors
1
0
f (x) dx
2
1
0
(f (x))
3 dx.
Montrer aussi que l’égalité est atteinte si et seulement si f (x) = x.
(4) Inégalité de Grüss. (N.d.T.)
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