Énoncés
I.5.71. Montrer que
Γ (a)
Γ(a)
=
+∞
0
e
−x
−
1
(1 + x) a
dx
x
pour a > 0.
I.5.72. Déterminer les limites suivantes :
(a)
lim
x→+∞
√
xΓ
x +
1
2
Γ(x + 1)
,
(b)
lim
x→+∞
x
a B(a, x), a > 0.
I.6. Inégalités portant sur les intégrales
I.6.1. Prouver l’inégalité de Cauchy-Schwarz . Si f et g sont des fonctions
Riemann-intégrables sur [a , b], alors
b
a
f (x)g(x) dx
2
b
a
f
2 (x) dx
b
a
g
2 (x) dx.
De plus, si f et g sont continues sur [a , b], l’égalité est vérifiée si et seulement s’il
existe λ 1 et λ 2 tels que |λ 1 | + |λ 2 | > 0 et λ 1 f (x) = λ 2 g(x) pour tout x ∈ [a , b].
I.6.2. Prouver que si f est Riemann-intégrable sur [a , b], alors
b
a
f (x) sin x dx
2
+
b
a
f (x) cos x dx
2
(b − a)
b
a
f
2 (x) dx.
I.6.3. Prouver que si f est strictement positive et Riemann-intégrable sur [a , b],
alors
(b − a)
2
b
a
f (x) dx
b
a
dx
f (x)
.
De plus, si 0 < m f (x) M , alors
b
a
f (x) dx
b
a
dx
f (x)
(m + M )
2
4mM
(b − a)
2 .
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