Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.5.64. Pour a et b strictement positifs, on pose
B(a, b) =
1
0
x
a−1 (1 − x)
b−1 dx.
(B(a, b) est appelée la fonction bêta d’Euler .) Montrer que, pour 0 < a < 1,
B(a, 1 − a) =
+∞
0
y a−1
1 + y
dy =
π
sin aπ
.
I.5.65. Montrer que, pour a, b > 0,
B(a, b) =
Γ(a)Γ(b)
Γ(a + b)
et en conclure que
Γ(a)Γ(1 − a) =
π
sin aπ
pour 0 < a < 1.
I.5.66. Déterminer lim
a→0 +
aΓ(a).
I.5.67. Calculer
1
0 ln Γ(a) da.
I.5.68. Pour a > 0, prouver la formule de duplication suivante :
2
2a Γ(a)Γ
a +
1
2
Γ(2a)
= 2
√
π.
I.5.69. Vérifier les égalités suivantes :
(a)
π/2
0
tan
a x dx =
π
2 cos
πa
2
, |a| < 1,
(b)
π
0
dx
√
3 − cos x
=
1
4
√ π
Γ
1
4
2
,
(c)
π/2
0
sin
a−1 x dx = 2
a−2 B
a
2
,
a
2
, a > 0.
I.5.70. Prouver la formule de Stirling :
lim
n→+∞
n!
√
2πn
n+
1
2 e −n
= 1.
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