Énoncés
I.5.58. Montrer que pour a, b ∈ ]0 , 1[,
+∞
0
x a−1 − x b−1
1 − x
dx = π(cotan πa − cotan πb).
I.5.59. Exprimer les intégrandes sous forme de série entière pour calculer
(a)
1
0
ln(1 − x)
x
dx,
(b)
1
0
ln(1 + x)
x
dx,
(c)
1
0
ln
1 + x 2
x
dx,
(d)
1
0
ln x ln
2 (1 − x)
x
dx.
I.5.60. Utiliser l’identité
1
2n + 1
=
1
0
x
2n dx (n ∈ N)
pour trouver la somme des séries
(a)
+∞
n=0
(−1)
n
1
4n + 1
+
1
4n + 3
,
(b)
1 +
+∞
n=1
1
8n + 1
−
1
8n − 1
.
I.5.61. Utiliser le résultat de I.5.1(c) pour déterminer la somme des séries
(a)
+∞
n=0
1
(2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)
,
(b)
+∞
n=1
1
2n(2n + 1)(2n + 2)
.
I.5.62. Démontrer que
1
0
x
−x dx =
+∞
n=1
n
−n .
I.5.63. Déterminer la valeur de l’intégrale
+∞
0
xe −x
1 + e −x dx.
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