Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
ces intervalles. Si l’intégrale impropre
b
a f (x, y) dx converge uniformément sur A
(autrement dit, étant donné ε > 0, il existe η 0 tel que
b
b−η
f (x, y) dx
< ε
pour tout 0 < η < η 0 < b − a et y ∈ A), alors
lim
y→y 0
b
a
f (x, y) dx =
b
a
ϕ(x) dx.
I.5.53. Soit f n : [a , b[−→ R (n ∈ N ∗ ) des fonctions Riemann-intégrables sur
tout intervalle [a , b − η] où 0 < η < b − a, telles que la suite f n (x) converge
uniformément sur chacun de ces intervalles vers ϕ(x) lorsque n tend vers +∞.
On suppose aussi qu’il existe une fonction strictement positive f (x) telle que
|f n (x)| f (x) pour tout x ∈ [a , b[ et n ∈ N ∗ et telle que l’intégrale
b
a f (x) dx
existe. Alors (3) ,
lim
n→+∞
b
a
f n (x) dx =
b
a
ϕ(x) dx.
I.5.54. Montrer que
lim
y→+∞
+∞
0
e
−x y dx = 1.
I.5.55. Montrer que
Γ(x) = lim
n→+∞
n
0
1 −
t
n
n
t
x−1 dt, pour x > 0.
I.5.56. Montrer que
+∞
0
sin x
x
2
dx =
π
2
.
I.5.57. Montrer que, pour 0 < a < 1,
+∞
0
x a−1
1 + x
dx =
1
a
+
+∞
k=1
(−1)
k
1
a + k
+
1
a − k
=
π
sin πa
.
(3) Théorème de convergence dominée. (N.d.T.)
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