Énoncés
I.5.50. Soit f (x, y) une fonction continue sur [a , +∞[×[c , +∞[. On suppose
que
(1) l’intégrale impropre
+∞
a
f (x, y) dx converge uniformément sur chaque intervalle [c , d],
(2) l’intégrale impropre
+∞
c
f (x, y) dy converge uniformément sur chaque intervalle [a , b],
(3) les intégrales impropres
+∞
a
|f (x, y)| dx et
+∞
c
|f (x, y)| dy convergent respectivement pour y c et x a,
(4) au moins une des intégrales impropres
+∞
a
+∞
c
|f (x, y)| dy
dx,
+∞
c
+∞
a
|f (x, y)| dx
dy
converge.
Alors,
+∞
a
+∞
c
f (x, y) dy
dx =
+∞
c
+∞
a
f (x, y) dx
dy
et chacune des intégrales converge (2) .
I.5.51. Montrer que
+∞
0
cos x
2 dx =
1
2
+∞
0
cos x
√ x
dx =
1
2
π
2
et
+∞
0
sin x
2 dx =
1
2
+∞
0
sin x
√ x
dx =
1
2
π
2
.
(Les intégrales impropres
+∞
0
cos x 2 dx et
+∞
0
sin x 2 dx sont appelées des intégrales de Fresnel .)
I.5.52. Soit f (x, y) une fonction définie sur [a , b[×A telle que pour tout y ∈ A,
f est Riemann-intégrable sur tout intervalle [a , b−η] où 0 < η < b−a. On suppose
aussi que f (x, y) tend vers ϕ(x) lorsque y tend vers y 0 uniformément sur chacun de
(2) Théorème de Fubini-Tonelli. (N.d.T.)
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