Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
(b)
+∞
0
dx
(a + x 2 )
n+1 , a > 0, n ∈ N ∗ ,
(c)
+∞
0
sin(ax)
x
e
−x dx, a ∈ R,
(d)
+∞
0
1 − cos(ax)
x
e
−x dx, a ∈ R.
I.5.46. Prouver que
(a)
+∞
−∞
e
−x 2 /2 cos(yx) dx =
√
2πe
−y 2 /2 , y ∈ R,
(b)
+∞
0
e
−x−y/x dx
√ x
=
√
πe
−2
√ y , y > 0.
I.5.47. Prouver que si une fonction à valeurs réelles f (x, y) est continue sur
[a , +∞[×[c , d] et que l’intégrale impropre
+∞
a
f (x, y) dx
converge uniformément sur [c , d], alors
d
c
+∞
a
f (x, y) dx
dy =
+∞
a
d
c
f (x, y) dy
dx.
I.5.48. Utiliser le théorème précédent pour trouver
(a)
+∞
0
e −bx − e −ax
x
dx, a, b > 0,
(b)
+∞
0
cos(bx) − cos(ax)
x 2
dx, 0 < a < b.
I.5.49. Soit que f ∈ C 1
R +
telle que f soit monotone sur R + et lim
x→+∞
f (x) = l
existe et soit finie. Prouver (1) que, pour a, b > 0,
+∞
0
f (bx) − f (ax)
x
dx = (l − f (0)) ln
b
a
.
(1) Cette intégrale est appelée l’intégrale de Frullani. (N.d.T.)
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(b)
+∞
0
dx
(a + x 2 )
n+1 , a > 0, n ∈ N ∗ ,
(c)
+∞
0
sin(ax)
x
e
−x dx, a ∈ R,
(d)
+∞
0
1 − cos(ax)
x
e
−x dx, a ∈ R.
I.5.46. Prouver que
(a)
+∞
−∞
e
−x 2 /2 cos(yx) dx =
√
2πe
−y 2 /2 , y ∈ R,
(b)
+∞
0
e
−x−y/x dx
√ x
=
√
πe
−2
√ y , y > 0.
I.5.47. Prouver que si une fonction à valeurs réelles f (x, y) est continue sur
[a , +∞[×[c , d] et que l’intégrale impropre
+∞
a
f (x, y) dx
converge uniformément sur [c , d], alors
d
c
+∞
a
f (x, y) dx
dy =
+∞
a
d
c
f (x, y) dy
dx.
I.5.48. Utiliser le théorème précédent pour trouver
(a)
+∞
0
e −bx − e −ax
x
dx, a, b > 0,
(b)
+∞
0
cos(bx) − cos(ax)
x 2
dx, 0 < a < b.
I.5.49. Soit que f ∈ C 1
R +
telle que f soit monotone sur R + et lim
x→+∞
f (x) = l
existe et soit finie. Prouver (1) que, pour a, b > 0,
+∞
0
f (bx) − f (ax)
x
dx = (l − f (0)) ln
b
a
.
(1) Cette intégrale est appelée l’intégrale de Frullani. (N.d.T.)
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