Énoncés
I.5.41. Considérer l’exemple
f n (x) =
n
x 3 e
−
n
2x 2
pour x > 0,
0
pour x = 0,
pour montrer qu’on ne peut pas omettre l’hypothèse sur la convergence uniforme
de l’intégrale impropre
+∞
a
f (x, y) dx dans l’énoncé du théorème I.5.40.
I.5.42. Montrer que
(a)
lim
y→0 +
+∞
0
sin x
x
e
−yx dx =
π
2
,
(b)
lim
y→+∞
+∞
0
sin x
2 Arctan(yx) dx =
π
2
+∞
0
sin x
2 dx,
(c)
lim
n→+∞
+∞
0
sin x
x
1 +
x
n
−n
dx =
+∞
0
sin x
x
e
−x dx,
(d)
lim
y→+∞
+∞
1
Arctan(yx)
x 2
√
x 2 − 1
dx =
π
2
,
(e)
lim
y→0 +
+∞
0
y
2 sin xe
−y 2 x 2 dx = 0.
I.5.43. Soit f : R = [a , +∞[×[c , d] −→ R une fonction continue telle que
+∞
a
f (x, y) dx converge uniformément sur [c , d]. La fonction
I(y) =
+∞
a
f (x, y) dx
est alors continue sur [c , d].
I.5.44. Soit f : R = [a , +∞[×[c , d] −→ R une fonction continue telle que
+∞
a
f (x, y) dx converge pour tout y ∈ [c , d] et que
∂f
∂y soit continue sur R. On
suppose que l’intégrale
+∞
a
∂f
∂y (x, y) dx converge uniformément sur [c, d]. Montrer
que
d
dy
+∞
a
f (x, y)dx =
+∞
a
∂f
∂y
(x, y) dx.
I.5.45. Utiliser le résultat de I.5.44 pour calculer
(a)
+∞
0
e
−ax 2 x
2n dx, a > 0, n ∈ N ∗ ,
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