Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.5.37. Déduire le critère suivant du problème précédent. Si l’intégrale impropre
+∞
a
f (x) dx converge et si g(x, y) est monotone par rapport à x et est bornée sur
[a , +∞[×A, alors
+∞
a
f (x)g(x, y) dx
converge uniformément sur A.
I.5.38. On suppose qu’il existe C strictement positif tel que
b
a
f (x, y) dx
C pour tout b > a, y ∈ A.
La fonction g(x, y) est monotone par rapport à x et g(x, y) tend vers 0 lorsque x
tend vers +∞ uniformément sur A. Alors,
+∞
a
f (x, y)g(x, y) dx
converge uniformément sur A.
I.5.39. Étudier la convergence uniforme des intégrales impropres suivantes :
(a)
+∞
0
sin ax
x
dx, a ∈ [a 0 , +∞[ , a 0 > 0,
(b)
+∞
0
sin ax
x
dx, a ∈ R + ,
(c)
+∞
0
cos a
x 2 + 1
x 2 + 1
dx, a ∈ R,
(d)
+∞
0
e
−ax cos x
2 dx, a ∈ R
∗
+ .
I.5.40. On suppose que l’intégrale impropre
+∞
a
f (x, y) dx converge uniformément sur A. Prouver que si f (x, y) converge vers ϕ(x) lorsque y tend vers y 0
uniformément sur chaque intervalle [a , b], alors l’intégrale
+∞
a
ϕ(x) dx converge
et
lim
y→y 0
+∞
a
f (x, y)dx =
+∞
a
ϕ(x) dx.
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