Énoncés
I.5.31. Utiliser le résultat de I.5.29 pour montrer que
Γ(α) = lim
n→+∞
n α−1 n!
α(α + 1) . . . (α + n − 1)
pour α > 0.
I.5.32. Utiliser la formule donnée dans le problème précédent pour prouver que,
pour α > 0,
Γ(α) =
e −γα
α
+∞
k=1
e
α/k
1 +
α
k
−1
,
où γ est la constante d’Euler (voir, par exemple, II.1.41 (vol. I)).
I.5.33. Prouver que
+∞
0
sin x
x
dx =
π
2
.
I.5.34. Prouver que
+∞
0
e
−x 2 dx =
√ π
2
.
I.5.35. Soit f (x, y) une fonction définie sur [a , +∞[×A où A ⊂ R. On dit que
l’intégrale
+∞
a
f (x, y) dx converge uniformément sur A si, étant donné ε > 0, il
existe a 0 > a tel que
+∞
a
f (x, y) dx −
b
a
f (x, y) dx
< ε
pour tout b > a 0 et tout y ∈ A. Montrer que s’il existe une fonction ϕ(x) telle
que
|f (x, y)| ϕ(x) pour tout x ∈ [a , +∞[ , y ∈ A
et
+∞
a
ϕ(x) dx converge, alors l’intégrale impropre
+∞
a
f (x, y) dx converge uniformément sur A.
I.5.36. Montrer le critère suivant de convergence uniforme d’une intégrale impropre. On suppose que
+∞
a
f (x, y) dx converge uniformément sur A et g(x, y)
est monotone par rapport à x et est bornée sur [a , +∞[×A. Alors
+∞
a
f (x, y)g(x, y) dx
converge uniformément sur A.
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