Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.5.25. Soit f : [a , +∞[−→ R une fonction continue et périodique de période
T > 0 et g : [a , +∞[−→ R une fonction monotone telle que lim
x→+∞
g(x) = 0.
Prouver que si
a+T
a
f (x) dx = 0, alors l’intégrale
+∞
a
f (x)g(x) dx converge.
Prouver de plus que si
a+T
a
f (x) dx = 0, l’intégrale impropre
+∞
a
f (x)g(x) dx
converge si et seulement si
+∞
a
g(x) dx converge.
I.5.26. Utiliser le résultat du problème précédent pour étudier la convergence
des intégrales suivantes :
(a)
+∞
0
sin(sin x)
x
e
cos x dx,
(b)
+∞
0
sin(sin x)
x
e
sin x dx.
I.5.27. Pour α > 0, étudier la convergence de l’intégrale
+∞
0
sin x
x α + sin x
dx.
I.5.28. Prouver que si
+∞
a
xf (x) dx (a > 0) existe, alors
+∞
a
f (x) dx existe
aussi.
I.5.29. Soit f une fonction monotone sur R + telle que l’intégrale impropre
+∞
0
f (x) dx existe. Prouver que
lim
h→0 +
h
+∞
n=1
f (nh) =
+∞
0
f (x) dx.
Utiliser ce résultat pour déterminer
lim
h→0 +
+∞
n=1
h
1 + h 2 n 2 .
I.5.30. Pour α > 0, on pose
Γ(α) =
+∞
0
e
−x x
α−1 dx.
Montrer que Γ(α) est finie pour tout α strictement positif. Γ(α) est appelée la
fonction gamma d’Euler.
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