Énoncés
I.5.21. Prouver que si les intégrales
+∞
a
(f (x))
2 dx et
+∞
a
(f (x))
2 dx
convergent, alors
+∞
a
(f (x))
2 dx converge aussi.
I.5.22. Prouver le test d’Abel pour la convergence des intégrales impropres. Soit
f et g des fonctions définies sur [a , +∞[ vérifiant les conditions suivantes :
(1) l’intégrale impropre
+∞
a
f (x) dx existe,
(2) g est monotone et bornée sur [a , +∞[.
Alors, l’intégrale impropre
+∞
a
f (x)g(x) dx
converge.
I.5.23. Prouver le test de Dirichlet pour la convergence des intégrales impropres.
Soit f et g des fonctions définies sur [a , +∞[ vérifiant les conditions suivantes :
(1) f est (proprement) intégrable sur chaque intervalle [a , b] (b > a) et les
intégrales
b
a f (x) dx sont uniformément bornées, autrement dit, il existe
C > 0 tel que
b
a
f (x) dx
C pour tout b > a,
(2) g est monotone et lim
x→+∞
g(x) = 0.
Alors, l’intégrale impropre
+∞
a
f (x)g(x) dx
converge.
I.5.24. Pour α > 0, étudier la convergence des intégrales suivantes :
(a)
+∞
1
sin x
x α dx,
(b)
+∞
1
|sin x|
x
dx,
(c)
+∞
1
sin
x
2
dx,
(d)
+∞
1
e
sin x sin(2x)
x α dx,
(e)
+∞
1
ln
α x
sin x
x
dx.
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