Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.5.15. Montrer que si f est uniformément continue sur [a , +∞[ et que l’intégrale impropre
+∞
a
f (x) dx converge, alors lim
x→+∞
f (x) = 0.
I.5.16. Soit f : R + −→ R + une fonction décroissante. Prouver que si
+∞
0
f (x) dx < +∞,
alors lim
x→+∞
xf (x) = 0. Montrer sur un exemple que la réciproque est fausse,
autrement dit, la condition lim
x→+∞
xf (x) = 0 n’implique pas la convergence de
+∞
0
f (x) dx.
I.5.17. Soit f : [1 , +∞[−→]e , +∞[ une fonction croissante telle que
+∞
1
dx
f (x) =
+∞.
(a) Prouver que l’on a aussi
+∞
1
dx
x ln f (x) = +∞.
(b) Donner un exemple de fonction f vérifiant la condition ci-dessus et pour
laquelle
+∞
1
dx
x ln f (x) ln(ln f (x)) converge.
I.5.18. Soit f une fonction continue sur R + telle que
lim
x→+∞
f (x) +
x
0
f (t) dt
existe et est finie. Prouver que lim
x→+∞
f (x) = 0.
I.5.19. Soit f une fonction positive et continue sur R + telle que
+∞
0
f (x) dx < +∞.
Démontrer que
lim
n→+∞
1
n
n
0
xf (x) dx = 0.
I.5.20. Soit f une fonction uniformément continue sur [a , +∞[ telle que les
intégrales
x
a f (t) dt soient uniformément bornées, autrement dit, il existe M > 0
tel que
x
a
f (t) dt
M pour tout x ∈ [a , +∞[.
Prouver que f est bornée sur [a , +∞[.
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