Énoncés
I.5.9. On suppose que f et g sont des fonctions strictement positives sur [a , +∞[
et que
+∞
a
g(x) dx diverge. Montrer qu’au moins une des deux intégrales
+∞
a
f (x)g(x) dx et
+∞
a
g(x)
f (x)
dx
diverge.
I.5.10. Prouver le théorème de Cauchy suivant. Pour que l’intégrale impropre
+∞
a
f (x) dx converge, il faut et il suffit que, étant donné ε > 0, il existe a 0 > a
tel que pour tout a 2 > a 1 > a 0 ,
a 2
a 1
f (x) dx
< ε.
I.5.11. Prouver que l’intégrale impropre
+∞
a
f (x) dx converge si et seulement
si, pour toute suite croissante {a n } n∈N qui diverge vers +∞ et telle que a 0 = a et
a n > a pour n 1, la série
+∞
n=1
an
a n−1
f (x) dx
(1)
converge. De plus, en cas de convergence,
+∞
a
f (x) dx =
+∞
n=1
an
a n−1
f (x) dx.
Prouver aussi que si f est positive, il suffit qu’il existe une suite croissante
{a n } n∈N , a 0 = a et a n > a pour n 1, divergente vers +∞ et pour laquelle la
série (1) converge pour que l’intégrale impropre converge.
I.5.12. Pour a strictement positif, étudier la convergence de l’intégrale
+∞
0
dx
1 + x a sin
2 x
.
I.5.13. Soit f une fonction strictement positive sur R + telle que
+∞
0
f (x) dx
existe. La fonction f (x) doit-elle tendre vers 0 lorsque x tend vers +∞ ?
I.5.14. Soit f une fonction strictement positive et dérivable sur [a , +∞[ telle
que |f (x)| 2 pour x a. La convergence de
+∞
a
f (x) dx implique-t-elle que
f (x) tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ ?
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