Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.5.3. Soit f une fonction monotone sur l’intervalle ]0 , 1[ telle que l’intégrale
impropre
1
0 f (x) dx existe. Prouver que
lim
n→+∞
f
1
n
+ f
2
n
+ · · · + f
n−1
n
n
=
1
0
f (x) dx.
I.5.4. Soit f une fonction monotone sur l’intervalle ]0 , 1[ telle qu’une des limites
lim
x→0 +
f (x) ou lim
x→1 −
f (x) existe. Prouver que l’intégrale impropre
1
0 f (x) dx existe
si
lim
n→+∞
f
1
n
+ f
2
n
+ · · · + f
n−1
n
n
existe et est finie.
I.5.5. Montrer sur un exemple qu’on ne peut omettre l’hypothèse qu’une des
limites en 0 + ou en 1 − est finie dans le problème précédent.
I.5.6. En utilisant le résultat de I.5.3, déterminer
(a) lim
n→+∞
n
√
n!
n
,
(b) lim
n→+∞
n
sin
π
2n
sin
2π
2n
. . . sin
(n − 1)π
2n
,
(c) lim
n→+∞
⎛
⎝ 1
n
n
k=1
(ln k)
2
−
1
n
n
k=1
ln k
2
⎞
⎠ .
I.5.7. Soit f : ]0 , 1] −→ R une fonction monotone telle que pour un certain
α ∈ R, l’intégrale impropre
1
0 x α f (x) dx existe. Prouver que lim
x→0 +
x α+1 f (x) = 0.
I.5.8. Vérifier lesquelles des intégrales impropres suivantes convergent ou divergent :
(a)
+∞
2
dx
x ln x
,
(b)
+∞
0
sin
2 x
1 + x 2 dx,
(c)
1
0
(− ln x)
a dx, a ∈ R,
(d)
1
0
dx
x a (− ln x)
b
, a,b ∈ R,
(e)
+∞
0
x dx
1 + x 2 sin
2 x
.
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