Énoncés
pour autant que les deux intégrales impropres dans le second membre
convergent. Cette définition ne dépend pas du choix de a.
Pour une fonction f définie sur [a , b[ et Riemann-intégrable sur tout sousintervalle fermé de [a , b[, on définit l’intégrale impropre
b
a f (x) dx par
b
a
f (x) dx = lim
η→0 +
b−η
a
f (x) dx,
pour autant que la limite est finie. Si f est définie sur ]a , b] et Riemannintégrable sur tout sous-intervalle fermé de ]a , b], l’intégrale impropre
b
a f (x) dx est définie de la même façon.
I.5.1. Pour n ∈ N ∗ et a strictement positif, calculer
(a)
2π
0
dx
sin
4 x + cos 4 x
,
(b)
π/2
0
ln(sin x) dx,
(c)
1
0
x
n (1 − x)
α dx, α > −1,
(d)
1
0
(− ln x)
n dx,
(e)
n
0
1 −
1 −
x
n
n
x
dx,
(f)
1
0
x
n ln
n x dx,
(g)
+∞
0
dx
(1 + x 2 )
n ,
(h)
+∞
1
dx
x 2
√
x 2 − 1
,
(i)
+∞
0
ln x
x 2 + a 2 dx,
(j)
+∞
0
ln x
(x 2 + a 2 )
2 dx,
(k)
π
0
ln(1 + cos x) dx,
(l)
+∞
0
ln
x +
1
x
dx
1 + x 2 .
I.5.2. Pour 0 < α < 1, on définit
f α (x) =
α
x
− α
1
x
, 0 < x < 1.
Prouver que
1
0
f α (x) dx = α ln α.
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