Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.4.46. Démontrer que pour tout entier N strictement positif, l’équation
x
0
e
−t
1 +
t
1!
+
t 2
2!
+ · · · +
t 2N
(2N )!
dt = N
admet une solution dans l’intervalle ]N , 2N [.
I.4.47. Soit P un polynôme de degré n tel que
1
0
x
k P (x) dx = 0 pour k = 1, 2, . . . , n.
Montrer que
1
0
(P (x))
2 dx = (n + 1)
2
1
0
P (x) dx
2
.
I.4.48. Prouver que si f est continue sur R = [a , b] × [c , d], alors
d
c
b
a
f (x, y) dx
dy =
b
a
d
c
f (x, y) dy
dx.
I.4.49. Prouver que, pour 0 < a < b,
1
0
x b − x a
ln x
dx = ln
1 + b
1 + a
.
I.5. Intégrales impropres
On suppose que la fonction f est définie sur [a , +∞[ et qu’elle est Riemannintégrable sur tout intervalle borné [a , b], b > a. On définit
+∞
a
f (x) dx = lim
b→+∞
b
a
f (x) dx,
pour autant que cette limite existe et est finie. On dit, dans ce cas, que l’intégrale impropre (celle se trouvant dans le premier membre de l’égalité) converge
et sinon, on dit qu’elle diverge. On définit l’intégrale impropre
a
−∞ f (x) dx de
la même façon et on définit l’intégrale
+∞
−∞ f (x) dx par
+∞
−∞
f (x) dx =
a
−∞
f (x) dx +
+∞
a
f (x) dx,
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