Énoncés
I.4.40. Déterminer les limites suivantes :
(a)
lim
x→+∞
1
ln x
x
0
1
5
√
1 + t 5
dt
,
(b)
lim
x→0
1
x
x
0
(1 + sin t)
1
t dt
,
(c)
lim
x→0 +
1
x 2
x
0
t
1+t dt
,
(d)
lim
x→+∞
x
0
e
t 2 dt
1/x 2
.
I.4.41. Prouver que si f est continue sur [0 , 1], alors
lim
p→+∞
1
0
|f (x)|
p dx
1/p
= max
x∈[0,1]
|f (x)| .
I.4.42. On suppose que la fonction à valeurs réelles f (x, y) est continue sur le
rectangle R = [a , b] × [c , d]. Prouver que
I(y) =
b
a
f (x, y) dx
est continue sur [c , d].
I.4.43. On suppose que la fonction à valeurs réelles f (x, y) définie sur le rectangle R = [a , b] × [c , d] est Riemann-intégrable sur [a , b] pour tout y ∈ [c , d] et
que la dérivée partielle
∂f
∂y est continue sur R. Démontrer que
d
dy
b
a
f (x, y) dx =
b
a
∂f
∂y
(x, y) dx.
I.4.44. Soit f une fonction continue et strictement positive sur [0 , 1]. Déterminer
lim
p→0
1
0
(f (x))
p dx
1/p
.
I.4.45. Soit f une fonction continue et strictement positive sur [0 , 1]. Déterminer
lim
p→−∞
1
0
(f (x))
p dx
1/p
.
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