Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.4.36. Soit f ∈ C [−a,a] , a > 0. Montrer que
(a) si
a
−a
x
2n f (x) dx = 0 pour tout n ∈ N,
f est alors impaire sur [−a , a],
(b) si
a
−a
x
2n+1 f (x) dx = 0 pour tout n ∈ N,
f est alors paire sur [−a , a].
I.4.37. Soit f une fonction continue sur R. Déterminer
lim
h→0
1
h
b
a
(f (x + h) − f (x)) dx.
I.4.38. Soit f une fonction continue sur R et a < b, on pose
g(x) =
b
a
f (x + t) dt.
Déterminer la dérivée de g.
I.4.39. Déterminer les limites suivantes :
(a)
lim
x→+∞
1
√
x
x
1
ln
1 +
1
√
t
dt,
(b)
lim
x→0
x
1
x
cos t
t 2 dt,
(c)
lim
x→0 +
x 2
0 sin
√
t dt
x 3
,
(d)
lim
x→+∞
1
x a
x
0
ln
P (t)
Q(t)
dt
,
où a > 1 et P et Q sont des polynômes strictement positifs sur R + .
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