Énoncés
I.4.30. Soit f ∈ C 1
[0,1] . Prouver qu’il existe θ ∈ ]0 , 1[ tel que
1
0
f (x) dx = f (0) +
1
2
f
(θ).
I.4.31. Soit f ∈ C 2
[0,1] . Prouver qu’il existe θ ∈ ]0 , 1[ tel que
1
0
f (x) dx = f (0) +
1
2
f
(θ) +
1
6
f
(θ).
I.4.32. Soit f ∈ C 1
[0,1] telle que f (0) = 0. Pour x ∈ ]0 , 1], soit θ(x) tel que
x
0
f (t) dt = f (θ(x))x.
Déterminer la limite
lim
x→0 +
θ(x)
x
.
I.4.33. Soit f une fonction continue, positive et strictement croissante sur [a , b].
Pour p > 0, on note θ(p) l’unique réel tel que
(f (θ(p)))
p =
1
b − a
b
a
(f (x))
p dx.
Déterminer lim
p→+∞
θ(p).
I.4.34. Soit f une fonction continue sur [a , b] telle que
b
a
x
n f (x) dx = 0
pour tout n ∈ N. Prouver que f est identiquement nulle sur [a , b].
I.4.35. Soit f une fonction continue sur [a , b] telle que
b
a
x
n f (x) dx = 0
pour n = 0, 1, . . . , N. Prouver que f possède au moins N + 1 zéros dans [a , b].
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