Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.4.24. Soit f une fonction continue sur [a , b] telle que
b
a
f (x) dx = 0.
Prouver qu’il existe θ ∈ ]a , b[ tel que
θ
a
f (x) dx = f (θ).
I.4.25. Soit f ∈ C [a,b] , a > 0, telle que
b
a
f (x) dx = 0.
Prouver qu’il existe θ ∈ ]a , b[ tel que
θ
a
f (x) dx = θf (θ).
I.4.26. Soit f, g ∈ C [a,b] . Prouver qu’il existe θ ∈ ]a , b[ tel que
g(θ)
b
a
f (x) dx = f (θ)
b
a
g(x) dx.
I.4.27. Soit f, g ∈ C [a,b] . Prouver qu’il existe θ ∈ ]a , b[ tel que
g(θ)
θ
a
f (x) dx = f (θ)
b
θ
g(x) dx.
I.4.28. Soit f et g des fonctions strictement positives et continues sur [a , b].
Prouver qu’il existe θ ∈ ]a , b[ tel que
f (θ)
θ
a f (x) dx
−
g(θ)
b
θ g(x) dx
= 1.
I.4.29. Soit f une fonction strictement positive et continue sur [0 , 1]. Prouver
que, pour tout n ∈ N ∗ , il existe θ(n) tel que
1
n
1
0
f (x) dx =
θ(n)
0
f (x) dx +
1
1−θ(n)
f (x) dx.
Déterminer la limite lim
n→+∞
(nθ(n)).
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