Énoncés
I.4.19. Soit f une fonction continue sur R. Démontrer que
(a) si
x
−x f (t) dt = 0 pour tout x ∈ R, f est alors une fonction impaire,
(b) si
x
−x f (t) dt = 2
x
0 f (t) dt pour tout x ∈ R, f est alors une fonction paire,
(c) étant donné T > 0, si
x+T
x
f (t) dt =
T
0 f (t) dt pour tout x ∈ R, f est alors
périodique de période T > 0.
I.4.20. Calculer
(a)
lim
n→+∞
n
4
n+1
n
x dx
x 5 + 1
,
(b)
lim
n→+∞
n
3
2n
n
x dx
x 5 + 1
,
(c)
lim
n→+∞
2
1
ln
x +
x 5
n
dx,
(d)
lim
n→+∞
1
3π
2π
π
x dx
Arctan(nx)
n
.
I.4.21. Déterminer les limites suivantes :
(a)
lim
R→+∞
π/2
0
e
−R sin t dt,
(b)
lim
n→+∞
π
0
n
√
x sin x dx,
(c)
lim
n→+∞
π/2
0
sin
n x
√
1 + x
dx.
I.4.22. Déterminer, pour une fonction f continue sur [0 , 1],
lim
n→+∞
1
0
f (x
n ) dx.
I.4.23. Prouver que si f est Riemann-intégrable sur [a , b], il existe θ ∈ [a , b]
tel que
θ
a
f (t) dt =
b
θ
f (t) dt.
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