Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.4.13. Calculer, pour une fonction f strictement positive et continue sur [0 , 1],
1
0
f (x)
f (x) + f (1 − x)
dx.
I.4.14. Prouver que si f est continue et paire sur [−a , a], a > 0, alors
a
−a
f (x)
1 + e x dx =
a
0
f (x) dx.
I.4.15. Prouver que si f est positive et continue sur [a , b] et que
b
a
f (x) dx = 0,
alors f est identiquement nulle sur [a , b].
I.4.16. Prouver que si f est continue sur [a , b] et que
β
α
f (x) dx = 0
pour tout α, β, a α < β b, alors f est identiquement nulle sur [a , b].
I.4.17. Soit f une fonction continue sur [a , b] telle que
b
a
f (x)g(x) dx = 0
pour toute fonction g continue sur [a , b]. Prouver que f est identiquement nulle
sur [a , b].
I.4.18. Soit f une fonction continue sur [a , b]. On suppose que
b
a
f (x)g(x) dx = 0
pour toute fonction g continue sur [a , b] telle que g(a) = g(b) = 0. Prouver que f
est identiquement nulle sur [a , b].
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