Énoncés
I.4.7. Soit f une fonction continue sur [−a , a], a > 0. Démontrer que
(a)
a
−a
f (x) dx = 2
a
0
f (x) dx si f est paire,
(b)
a
−a
f (x) dx = 0 si f est impaire.
I.4.8. Soit f : R −→ R une fonction continue et périodique de période T > 0.
Prouver que, pour tout réel a,
a+T
a
f (x) dx =
T
0
f (x) dx.
I.4.9. Soit f : R −→ R une fonction continue et périodique de période T > 0.
Prouver que, pour tout a < b,
lim
n→+∞
b
a
f (nx) dx =
b − a
T
T
0
f (x) dx.
I.4.10. Soit f ∈ C [−1,1] . Déterminer les limites suivantes :
(a) lim
n→+∞
1
n
n
0 f (sin x) dx,
(b) lim
n→+∞
1
n
n
0 f (|sin x|) dx,
(c) lim
n→+∞
1
0 xf (sin(2πnx)) dx.
I.4.11. Pour f ∈ C [a,b] , déterminer les limites suivantes :
(a) lim
n→+∞
b
a f (x) cos(nx) dx, lim
n→+∞
b
a f (x) sin(nx) dx,
(b) lim
n→+∞
b
a f (x) sin
2 (nx) dx.
I.4.12. Soit f ∈ C [0,+∞[ . On pose
a n =
1
0
f (n + x) dx
pour n ∈ N.
On suppose aussi que lim
n→+∞
a n = a. Déterminer la limite lim
n→+∞
1
0 f (nx) dx.
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