Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
(e)
π
4
0
tan
2n x dx,
(f)
π
4
0
sin x
sin x + cos x
dx,
(g)
π
2
0
sin
n x
sin
n x + cos n x
dx.
I.4.2. Pour n ∈ N ∗ , utiliser l’intégrale
1
0
1 − x 2 n dx pour calculer
1
1
n
0
−
1
3
n
1
+
1
5
n
2
− · · · + (−1)
n
1
2n + 1
n
n
.
I.4.3. Soit une fonction f admettant une primitive sur un intervalle I, autrement
dit, il existe une fonction dérivable F telle que F (x) = f (x) pour tout x ∈ I.
Prouver que si f admet une limite à gauche ou à droite en x 0 ∈ I et que cette
limite est égale à a, alors f (x 0 ) = a.
I.4.4. On note f la fonction définie par
f (x) =
sin
1
x
si x = 0,
c
si x = 0,
où c ∈ [−1 , 1]. Pour quelles valeurs de c la fonction f admet-elle une primitive ?
I.4.5. On pose x n =
1
√
n
pour n ∈ N ∗ . Construire une fonction f continue sur
]0 , 1] telle que f 0 sur [x 2k , x 2k−1 ], f 0 sur [x 2k+1 , x 2k ] et
F (x 2k−1 ) − F (x 2k ) = F (x 2k+1 ) − F (x 2k ) =
1
k
,
où F est une primitive de f . On prolonge la fonction f à [0 , 1] en posant f (0) = 0.
Montrer que f admet une primitive sur [0 , 1] alors que |f | n’en admet pas.
I.4.6. Soit f une fonction continue sur [0 , 1]. Prouver que
π
0
xf (sin x) dx =
π
2
π
0
f (sin x) dx.
En utilisant cette égalité, calculer
π
0
x sin
2n x
sin
2n x + cos 2n x
dx, n ∈ N
∗ .
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(e)
π
4
0
tan
2n x dx,
(f)
π
4
0
sin x
sin x + cos x
dx,
(g)
π
2
0
sin
n x
sin
n x + cos n x
dx.
I.4.2. Pour n ∈ N ∗ , utiliser l’intégrale
1
0
1 − x 2 n dx pour calculer
1
1
n
0
−
1
3
n
1
+
1
5
n
2
− · · · + (−1)
n
1
2n + 1
n
n
.
I.4.3. Soit une fonction f admettant une primitive sur un intervalle I, autrement
dit, il existe une fonction dérivable F telle que F (x) = f (x) pour tout x ∈ I.
Prouver que si f admet une limite à gauche ou à droite en x 0 ∈ I et que cette
limite est égale à a, alors f (x 0 ) = a.
I.4.4. On note f la fonction définie par
f (x) =
sin
1
x
si x = 0,
c
si x = 0,
où c ∈ [−1 , 1]. Pour quelles valeurs de c la fonction f admet-elle une primitive ?
I.4.5. On pose x n =
1
√
n
pour n ∈ N ∗ . Construire une fonction f continue sur
]0 , 1] telle que f 0 sur [x 2k , x 2k−1 ], f 0 sur [x 2k+1 , x 2k ] et
F (x 2k−1 ) − F (x 2k ) = F (x 2k+1 ) − F (x 2k ) =
1
k
,
où F est une primitive de f . On prolonge la fonction f à [0 , 1] en posant f (0) = 0.
Montrer que f admet une primitive sur [0 , 1] alors que |f | n’en admet pas.
I.4.6. Soit f une fonction continue sur [0 , 1]. Prouver que
π
0
xf (sin x) dx =
π
2
π
0
f (sin x) dx.
En utilisant cette égalité, calculer
π
0
x sin
2n x
sin
2n x + cos 2n x
dx, n ∈ N
∗ .
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