Énoncés
I.3.23. Démontrer le théorème de convergence monotone pour l’intégrale de Riemann. Si {f n } est une suite décroissante de fonctions Riemann-intégrables sur
[a , b] convergente sur [a , b] vers une fonction Riemann-intégrable f , alors
lim
n→+∞
b
a
f n (x) dx =
b
a
f (x) dx.
I.3.24. Prouver le théorème de convergence monotone pour l’intégrale inférieure
de Riemann. Si {f n } est une suite décroissante de fonctions à variation bornée
sur [a , b] et si lim
n→+∞
f n (x) = 0 pour tout x ∈ [a , b], alors
lim
n→+∞
b
a
f n (x) dx = 0.
I.3.25. Prouver le théorème d’Arzelà. Si {f n } est une suite de fonctions
Riemann-intégrables sur [a , b] convergente sur [a , b] vers une fonction Riemannintégrable f et s’il existe une constante M > 0 telle que |f n (x)| M pour tout
x ∈ [a , b] et pour tout n ∈ N, alors
lim
n→+∞
b
a
f n (x) dx =
b
a
f (x) dx.
I.3.26. Prouver le lemme de Fatou pour l’intégrale de Riemann. Si {f n } est une
suite de fonctions positives Riemann-intégrables sur [a , b] convergente sur [a , b]
vers une fonction Riemann-intégrable f , alors
b
a
f (x) dx lim
n→+∞
b
a
f n (x) dx.
I.4. Intégrales définies
I.4.1. Calculer, pour n ∈ N ∗ ,
(a)
4
0
|x − 1|
|x − 2| + |x − 3|
dx,
(b)
π
2
0
sin
n x dx,
π
2
0
cos
n x dx,
(c)
e
1
e
|ln x| dx,
(d)
π
0
x sin x
1 + cos 2 x
dx,
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