Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.3.18. Déterminer, pour 0 < a < b,
lim
n→+∞
b
a
sin(nx)
x
dx.
I.3.19. Pour x > 0, montrer que
(a) si F (x) =
x+1
x
sin
t 2
dt, alors |F (x)|
1
x ,
(b) si F (x) =
x+1
x
sin
e t
dt, alors |F (x)|
2
e x .
I.3.20. Prouver que si les fonctions f , α 1 , α 2 sont continues et à variation bornée
sur [a , b], alors
b
a
f (x) d(α 1 (x)α 2 (x)) =
b
a
f (x)α 1 (x) dα 2 (x) +
b
a
f (x)α 2 (x) dα 1 (x).
I.3.21. Montrer que si f est continue et à variation bornée sur [a , b], on a alors,
pour tout entier n strictement positif,
b
a
f (x)d ((f (x))
n ) = n
b
a
(f (x))
n df (x)
=
n
n + 1
(f (b))
n+1
− (f (a))
n+1
.
I.3.22. Soit f une fonction continue sur [0 , 1]. Déterminer les limites suivantes
(a)
lim
n→+∞
n
1
0
x
n f (x) dx
,
(b)
lim
n→+∞
n
1
0
e
−nx f (x) dx
,
(c)
lim
n→+∞
1
0 x n f (x) dx
1
0 x n e x 2 dx
,
(d)
lim
n→+∞
√
n
1
0
f (x) sin
2n (2πx) dx
,
(e)
lim
n→+∞
1
0 f (x) sin
2n (2πx) dx
1
0 e x 2 sin
2n (2πx) dx
.
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