Énoncés
I.3.14. Démontrer le théorème de sélection de Helly. Soit {α n } une suite de
fonctions définies sur [a , b] telles que |α n (a)| M et V (α n ; a, b) M pour tout
n ∈ N. La suite {α n } contient alors une sous-suite {α n k } convergente vers une
fonction α à variation bornée sur [a , b] et on a, pour toute fonction f continue
sur [a , b],
lim
k→+∞
b
a
f (x) dα n k (x) =
b
a
f (x) dα(x).
I.3.15. Prouver le théorème suivant dû à Helly qui généralise le résultat
de I.3.12. Soit f une fonction continue et α une fonction à variation bornée
sur [a , b]. Si la suite {α n } de fonctions à variation uniformément bornée converge
vers α sur un ensemble A dense dans [a , b] tel que a, b ∈ A, alors
lim
n→+∞
b
a
f (x) dα n (x) =
b
a
f (x) dα(x).
I.3.16. Démontrer la seconde formule de la moyenne. Si f est une fonction
monotone et si α une fonction continue et à variation bornée sur [a , b], il existe
alors un point c ∈ [a , b] tel que
b
a
f (x) dα(x) = f (a)
c
a
dα(x) + f (b)
b
c
dα(x)
= f (a) (α(c) − α(a)) + f (b) (α(b) − α(c)) .
I.3.17. Montrer les formes de Bonnet suivantes de la seconde formule de la
moyenne.
(a) Si f est une fonction croissante strictement positive sur [a , b] et si α est
une fonction continue à variation bornée sur [a , b], il existe alors un point
c ∈ [a , b] tel que
b
a
f (x) dα(x) = f (b)
b
c
dα(x) = f (b)(α(b) − α(c)).
(b) Si f est une fonction décroissante strictement positive sur [a , b] et si α est
une fonction continue à variation bornée sur [a , b], il existe alors un point
c ∈ [a , b] tel que
b
a
f (x) dα(x) = f (a)
c
a
dα(x) = f (a)(α(c) − α(a)).
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